Metoda elementów skończonych

Nasza ocena:

3
Pobrań: 70
Wyświetleń: 903
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Metoda elementów skończonych - strona 1 Metoda elementów skończonych - strona 2 Metoda elementów skończonych - strona 3

Fragment notatki:


Plan wykładu 1. Przypomnienie – rachunek macierzowy 2. Modelowanie komputerowe-podstawowe pojęcia 3. Problem brzegowy statyki 4. Wprowadzenie do MES na przykładzie problemu statyki 5. Przykłady zastosowań MES - Metoda Elementów Skończonych FEM - Finite Element Method Cel wykładu 1. Podstawowa wiedza z zakresu modelowania komputerowego 2. Usystematyzowanie wiedzy inŜynierskiej zezwalające na świadome uŜywanie oprogramowania inŜynierskiego  (Robot, Z_Soil i inne) Rachunek macierzowy (przypomnienie) Podstawowe pojęcia rachunku macierzowego Działania  i relacje na macierzach mnoŜenie macierzy operacje na wektorach w notacji macierzowej Układ równań liniowych typy macierzy macierz                 = × mn mj m in ij i n j n m A A A A A A A A A ... ... ... ... ... ... 1 1 1 1 11 ) ( M M M M M M A typy macierzy m. kwadratowa m n = m. diagonalna ( ) ii nn ii n n D D D D diag D =                 = × ... 0 ... 0 0 ... ... 0 0 ... 0 ... 11 ) ( M M M M M M m. zerowa ( ) [ ] ij 0 = 0 (prostokątna) Podstawowe pojęcia rachunku macierzowego (notacji macierzowej) j-ta kolumna i-ty wiersz ( ) [ ]    = ≠ = = =                 = × j i j i ij n n 1 0 1 1 ... 0 ... 0 0 ... 1 ... 0 0 ... 0 ... 1 ) ( δ diag I M O M M M M O M m. jednostkowa m. symetryczna  - kwadratowa, taka, Ŝe: , ji ij A A = transpozycja macierzy             = ⇒           = × × mn n m T m n mn m n n m A A A A A A A A L M M M M L M M 1 1 11 ) ( 1 1 11 ) ( ... ... ... ... A A ( ) T T A A = T A A = uwaga: czasem oznaczana teŜ: ' A A ≡ T macierz kolumnowa (wektor)           = × m m a a M 1 ) 1 ( a macierz wierszowa [ ] n n b b L , 1 ) 1 ( = × b Działania  i relacje na macierzach dodawanie n j m i C B A ij ij ij , , 1 , , , 1 , K K = = + = ⇔ + = C B A n j m i B A ij ij , , 1 , , , 1 , , K K = = = ⇔ = 

(…)

… ∂w
+ 
γ yz =
B
∂z ∂y 
B - macierz operatorów róŜniczkowania
u 
v 
 
 w
 
równania równowagi (3D)
σ ij ,i +b j = 0 ⇔

∂σ xx ∂σ xy ∂σ xz
+
+
+ bX = 0 
∂x
∂y
∂z


∂σ xy ∂σ yy ∂σ yz
+
+
+ bY = 0  ⇔
∂x
∂y
∂z


∂σ xz ∂σ yz ∂σ zz
+
+
+ bZ = 0 
∂x
∂y
∂z


BT ⋅ σ + b = 0 ⇔
∂ X 0 ∂ Y 0 ∂ Z 0 
0 ∂ ∂
0
0 ∂Z 
Y
X


0
∂ Z ∂ X ∂Y 
 440 40 244444 
1
4 4
3
BT
B - macierz operatorów…
… )ε yy + vε xx
4
3
(1 +ν )(1 − 2ν ) 144444 2444444
=
równania równowagi:





ε
xx

∂σ xx ∂σ xy
+
+ bX = 0
∂x
∂y

T
 ⇔ B ⋅σ + b = 0
∂σ xy ∂σ yy
+
+ bY = 0 

∂x
∂y


yy





zz
Płaski stan napręŜenia (PSN) plane stress
geometryczne: wymiary w dwóch kierunkach znacznie większe niŜ trzecim (grubość),
obciąŜenia (czynne i reakcje więzów): tworzą układ płaski w pł. XY
więzy…
… 1 x
L
L
 L
ξ=
1
N1 = 1 − ξ
u2
=
+
1
N2 = ξ
x
L

 N 2 ⋅ u2

Interpolacja w 2D. Zasady zgodności
2
1.
N1 ( x1 ) = 1,

1, a = b
 ⇒ N a ( xb ) = δ ab = 
N 2 ( x1 ) = N 3 ( x1 ) = N 4 ( x1 ) = 0
0, a ≠ b
1
3
4
interpolacja funkcji stałej powinna dać w
wyniku stałą
c
2
c
3
c
c
c
1
c = u1 = u 2 = u 3 = u 4 ⇒ u ( x ) = c
Nen
∑ cN (x ) = c ⇒
a =1
a
2.
Nen
∑ N (x ) = 1
a =1
a
4
1,2 zasady…
…   w
 
 ε xx 
∂u ∂v  ∂ X 0 0
γ xy = + ε  0 ∂
∂y ∂x  0
⇔ ε = B⋅u ⇔    
yy Y
 γ xy 
∂w   ∂Y ∂ X 0 
ε zz =   =  
∂z   ε zz  0 0 ∂Z 
∂u ∂w  γ xz  ∂ Z 0 ∂ X 
γ xz = +     
∂z ∂x 
 γ yz 
   0 ∂ Z ∂Y 
 44 44 
1 2 3
∂v ∂w
γ yz = +  B
∂z ∂y  B - macierz operatorów róŜniczkowania
równania równowagi (3D)
σ ij ,i +b j = 0 ⇔
∂σ xx ∂σ xy ∂σ xz 
+ + + bX = 0 
∂x ∂y…
… − 2ν ) 0 0 b 0   γ xy  1 −ν 2(1 −ν )
     
σ zz  a a 0 1  ε zz (= 0 )
 14444 244444 4 3
D
σ zz =
Ev
(1 +ν )(1 − 2ν )
(ε xx + ε yy ) = ν (σ xx + σ yy )
dla v ≠ 0, σ ≠ 0
zz
σ xx + σ yy =
E
[
(1 +ν )(1 − 2ν ) 144444 2444444 4 3
]
(1 −ν )ε xx + vε yy + (1 −ν )ε yy + vε xx
=
 
równania równowagi: 
 ε +ε 


 xx yy 

∂σ xx ∂σ xy 
+ + bX = 0
∂x ∂y 
 ⇔ B ⋅σ + b = 0
T
∂σ xy ∂σ yy…
…. transponowanych w
odwrotnej kolejności
T
= B ⋅A
T
T
I ⋅ A = A⋅I = A
0⋅ A = A⋅0 = 0
macierz jednostkowa jest
elementem neutralnym mnoŜenia
operacje na wektorach w notacji macierzowej
 a1 
T
a =  M  = [a1 , K an ] ,
 
 an 
 
iloczyn skalarny :
 b1 
T
b =  M  = [b1 , K bn ]
 
bn 
 
n
c = a o b ⇔ aT b = ∑ ai bi
i =1
notacja wskaźnikowa z umową sumacyjną Einsteina
iloczyn diadyczny:
 a1b1
C…
… im odkształceń δε ij , zachodzi równość pracy wirtualnej sił
wewnętrznych i zewnętrznych.
∂Ω t
T.S. w notacji macierzowej (3d)
b
Szukamy pól:

t
u = [u, v, w]
T
∂Ωu
wektor przemieszczeń
[
ε = ε xx , ε yy , γ xy , ε zz , γ xz , γ yz
[
]
T
σ = σ xx ,σ yy ,σ xy ,σ zz ,σ xz ,σ yz
wektor odkształceń
]
T

ij
= 2ε ij )
wektor napręŜeń
Dane:
b = [bX , bY , bZ ]
T
t = [t X , tY , t Z ]
wektor sił masowych (grawitacja…

właściwości mnoŜenia macierzy:
A⋅B ≠ B⋅A mnoŜenie m. jest (na ogół) nieprzemienne,
(nawet dla m. kwadratowych)
A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C rozdzielność względem dodawania
A ⋅ (B ⋅ C ) = (A ⋅ B ) ⋅ C łączność
(A ⋅ B )
transpozycja iloczynu m.=
= B ⋅A
T T T
iloczynowi m. transponowanych w
odwrotnej kolejności
I ⋅ A = A⋅I = A macierz jednostkowa jest
elementem neutralnym mnoŜenia
0⋅ A = A⋅0 = 0
operacje…
… róŜniczkowania
σ xx 
σ 
 yy 
σ xy 
 
σ zz 
σ xz 
 
σ yz 
 
+
bX 
b  = 0
 Y
 bZ 
 
równania fizyczne – związki konstytutywne (3D)
σ ij = Dijkl ε kl
postać ogólna dla materiału anizotropowego, 36 stałych
Dijkl tensor konstytutywny 4-go rzędu
Dla materiału Hooke’a, izotropowego tylko 2 stałe są niezaleŜne. Istnieją róŜne
moŜliwości ich wyboru:
i odpowiadające im róŜne formy prawa…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz