( , , ) f s t x ( ) 0 l t ® 0 0 ( ) 0 lim ( , , ) : ( ) | ( , , ) | I f f I e d l t s t x l t d s t x e ® = =" $ - Î Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer ( http://www.novapdf.com) * * : sup ( , ) : inf ( , ) I s f I S f t t t t = = 2) Jeżeli do danych punktów przedziałów dodamy nowe punkty to może to spowodować jedynie, co najwyżej, zwiększenie dolnych sum i zmniejszenie górnych. 3)Każda dolna suma Darboux jest nie większa od każdej sumy górnej nawet wtedy, kiedy sumy te odpowiadają różnym podziałom przedziałów. Dowód: 4)Zbiór wszystkich sum dolnych jest ograniczony z gory (np. przez dowolną sumę górną). 5)Wszystkie sumy górne są ograniczone z dołu(np przez dowolną sumę dolną). 15.3. Całki górna i dolna Darboux. - całka dolna Darboux - całka górna Darboux
(…)
… nieciągłości jest
całkowalna w sensie Riemanna.
Wniosek:
f Î R[ a ,b ] gdy pkt. nieciągłości f można pokryć przedziałami, wtedy suma ich długości będzie
dowolnie mała.
3)Funkcja monotoniczna i ograniczona w [a,b] jest całkowalna w s. Riemanna.
15.6. Własności całek oznaczonych.
Całka oznaczona w przedziale zorientowanym
I=
f ( x )dx , a<b
1) Jeżeli f Î R[ a ,b ] , a<b , to zachodzi wzór:
f ( x)dx = -
f ( x…
… 11. Całka oznaczona Riemanna
11.1. Definicja całki oznaczonej.
f :[a, b] Î R ® R
Rozbijamy przedział [a,b] w dowolny sposób na części wkładając między a i b pkt. Przedziału:
t : a := x0 < x1 < x2 < ... < xi -1 < xi < ... < xn := b
|V xi |:= xi - xi -1 , (i = 1,..., n)
l (t ) := max |V xi | - srednica _ podzialu
1< i < n
s ( f ,t , x ) = Pt ,x
Mówimy, że suma całkowa s ( f , t , x ) ma skończoną…
…-zbiór supX = a <=>
2)"e >0$a 'Î X : a ' > a - e
weźmy ciąg rosnący i ograniczony t n : t 1 <t 2 <...<t n
Z tw. Bolzano-Weierstrassa wynka, że t n jest zbieżny.
15.4. Warunki istnienia całki oznaczonej.
WKW istnienia całki oznaczonej to równość całek górnej i dolnej Darboux.
f ( x )dx <=> I * = I *
I=
WKW aby funkcja f była całkowalna w sensie Riemana na odcinku [a,b] jest spełnienie warunku:
wi ( f )V…
…://www.novapdf.com)
5)Jeżeli f-monotoniczna to
15.8. Całkowanie a różniczkowanie.
1)Całka oznaczona jako funkcja górnej granicy.
Niech f Î R[ a,b] => f Î R[ a, x ] , a<x<b
własności:
2) Tw. o ciągłości funkcji górnej granicy całkowania.
Jeżeli f Î R[ a ,b ] to funkcja F jest ciągła na odcinku [a,b]
3) Tw. o różniczkowaniu funkcji górnej granicy całkowania.
Jeżeli f jest ciągła w punkcie x Î [a, b] to w punkcie…
… ) = c
cV xi = c(b - a )
Powyższa definicja może być zastosowana tylko dla funkcji ograniczonych. W przypadku gdyby
tak nie było, to nie może istnieć granica właściwa I.
WK całkowalności funkcji:
Funkcja f jest całkowalna w [a,b] to f jest ograniczona w [a,b]
f Î R[ a,b] => f Î M [ a ,b]
15.2.Sumy Darboux. Własności sum Darboux.
l (t ) := max |V xi |
0 <i < n
Create PDF files without this message…
… ) ® 0
*
s ( f ,t )<s ( f ,t , x )<S ( f ,t ) => lim s ( f , t , x ) = I ( = I* = I )
l (t ) ® 0
Create PDF files without this message by purchasing novaPDF printer (http://www.novapdf.com)
15.5. Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna.
1) Każda funkcja f Î C[a ,b] jest w tym przedziale całkowalna.
f Î M [ a ,b ]
czyli
2) Każda f Î M [ a ,b ] i mająca w przedziale [a,b] skończoną liczbę punktów…
… xi = 0
f Î R[ a,b] <=> lim
l (t ) ® 0
dowód:
t : a = x0 < x1 < ... < xn = b
[ xi -1 , xi ]
mi __ M i
M i - m i := wi ( f ) - oscylacja _ funkcji _ f _ w _[ xi -1 , xi ]
S ( f ,t ) - s( f ,t ) =
M i V xi -
m iV xi =
(M i - m i )V xi =
wi ( f )V xi
Warunek Istnienia Całki:
I :=
f ( x )dx <=> lim ( S ( f ,t ) - s ( f ,t ) ) = 0
l (t )® 0
s ( f ,t )<s ( f ,t , x )<S ( f ,t )
dowód:
„=>” zakładamy…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)