Metalogika: teorie pierwszego rzędu

Nasza ocena:

5
Pobrań: 28
Wyświetleń: 791
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Metalogika: teorie pierwszego rzędu - strona 1 Metalogika: teorie pierwszego rzędu - strona 2 Metalogika: teorie pierwszego rzędu - strona 3

Fragment notatki:

Metalogika: Teorie pierwszego rzędu. Teorie: w znaczeniu intuicyjnym; w znaczeniu logicznym (sformalizowane) Na terenie logiki teorią lub systemem dedukcyjnym nazywamy dowolny zbiór formuł X spełniający warunek:
X=Cn(X)
Elemenety zbioru X nazywamy tezami lub Z przyjętego określenia oraz definicji operacji Cn wynika, że
Dla dowolnej teorii X i dowolnej formuły A z języka teorii X zachodzi następująca zależność: A e X (czyli A jest teza X) wtw A posiada dowód na gruncie teorii X. A zatem w skład teorii X wchodzą wszystkie i tylko takie formuły, które są w niej dowodliwe:
Jeżeli A e X, to A ma dowód na gruncie X (tzn. każda teza danej teorii ma w niej dowód):
Intuicyjnie, teoria (w sensie logicznym) to system, w którym wszystko co było możliwe do rozstrzygnięcia zostało rozstrzygnięte. W teorii zbiór tez osiąga „stan nasycenia”.
Dygresja. Ponieważ operacja Cn jest zwrotna, tj. X _c Cn(X) więc warunkowi definiującemu teorię nadaje się niekiedy postać inkluzji: Cn(X) _c X (żąda on aby wszystkie formuły, które dają się udowodnić na gruncie X znajdowały się w X).
Teorie w znaczeniu logicznym: Aksjomatyzowane: - skończone - nieskończone Nieaksjomatyzowane Wśród teorii wyróżnia się teorie aksjomatyzowane, tj. takie, które dają się przedstawić jako zbiory tych i tylko tych formuł, które można udowodnić w oparciu o pewne wybrane formuły - aksjomaty. Teorie aksjomatyzowalne są aksjomatyzowalne skończenie i nieskończenie.
Dygresja. Teoretycznie rzecz ujmując, aksjomaty można dobierać dowolnie. W praktyce jednak dąży się do tego aby teoria oddając intuicje formalizowanego problemu, nie miała pewnych niepożadanych własności. W przypadku teorii formalnych (takich jak artymetyka liczb naturalnych), wymaga się zwykle, aby zbiór aksjomatów był rekurencyjnie przeliczalny.
[rekurencyjnie przeliczalny - w prosty sposób, mechaniczny, potrafili odróżnić formuły, które są aksjomatami, od tych które nie są aksjomatami]. Ze względu na język, w którym teoria zostala sformułowana, teorie (w sensie logicznym) dzielimy na:
Teorie w znaczeniu logicznym: rzędu zerowego (KRZ) rzędu pierwszego (KRP) rzędu drugiego (kwantyfikatory mogą wiązać litery predykatowe) ... Przypomnienie: Jeżeli X jest zbiorem formuł jakiegoś języka pierwszego rzędu oraz spełnia warunek:


(…)

… jest również nieskończenie aksjomatyzowalna.
Dygresja. Teoria pierwszego rzędu może być też oparta na innej niż klasyczna logice. Zamiast Arp będzie wówczas występował zbiór aksjomatów „bazowej” logiki.
Zbiór aksjomatów dowolnej teorii pierwszego rzędu możemy podzielić na dwie części:
aksjomaty logiczne, czyli aksjomaty KRP (charakteryzujące stałe logiczne: spójniki, kwantyfikatory i ewentualnie znak identyczności…
… z stałą logiczną - znakiem identyczności ( = ).
Aid = Aksjomaty identyczności.
_
Przypomnienie: A e CnL(X) wtw A e CnL(X).
Na mocy tego twierdzenia aksjomaty dowolnej teorii pierwszego rzedu, w szczególności aksjomaty pozalogiczne, można zapisywać w postaci formuł otwartych (tj. zawierających zmienne wolne), jak i zdań (tj. bez zmiennych wolnych). W obu przypadkach uzyska się teorię o dokładnie…
…) [dla każdego elementu istnieje element od niego mniejszy]
Ax11 [KRP - dictum de singulum - A(x) → 3xA(x)]
1; reg. Transpozycji
M5
2,3 RO
M3
M3 → (~(y < x) → y = x v x < y) [teza KRP]
5, 6 RO
7 RG
\-/y(7) → [Teza KRP (pr. Rozkładu \-/ wzgl. → )]
8, 9 RO
10 Reg. Transpozycji
11 RO
teza KRP (pr. De morgana)
12, 13 RO
14 RG
Arytmetyka liczb naturalnych Peano (PA). Jest ona nadbudowana nad KRPI.
Słownik języka PA…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz