To tylko jedna z 77 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
1
1. Rachunek wektorowy
r
⎧A = a 1e1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ,
ˆ
ˆ
ˆ
⎪r
⎪
ˆ
ˆ
ˆ
1.1. Dane są trzy dowolne wektory: ⎨B = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 , Wyrazić następujące
r
⎪
ˆ
ˆ
ˆ
⎪C = c 1 e 1 + c 2 e 2 + c 3 e 3 .
⎩
wyrażenia
wektorowe
przez
składowe
tych
wektorów:
r r r r r
r r r r r
A + B − C, A ⋅ B, A × B, A × (B × C).
Rozwiązanie
Licząc sumę (różnicę) dowolnej liczby wektorów dodajemy (odejmujemy) składowe
tych wektorów. Dla r
r r wektorów podanych w zadaniu mamy:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A + B − C = a 1e1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + b1e1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 - (c1e1 + c 2 e 2 + c 3 e 3 )
ˆ
= ∑ (a i + b i − c i )e i ,
i =1...., 3
gdzie ai, bi, ci są składowymi kartezjańskimi wektorów A, B, C.
Drugie wyrażenie, tj. iloczyn skalarny wektorów a i B, możemy zapisać następująco:
r r
$
$
$
$
$
$
A ⋅ B = (a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) ⋅ ( b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) ,
r r
A ⋅ B = ∑ a i bi ,
i =1,..3
gdzie korzystamy z tego, że iloczyn dwóch wersorów prostopadłych do siebie jest równy
zero.
Trzecie wyrażenie, tj. iloczyn wektorowy wektorów a i B, możemy wyrazić przez
składowe wektorów danych jedną z następujących formuł:
ˆ
ˆ
ˆ
e1 e 2 e 3
r r
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A × B = (a 1e1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) × (b1e1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) = a 1 a 2 a 3
b1
b2
b3
ˆ
ˆ
ˆ
= (a 2 b 3 − a 3 b 2 )e1 + (a 3 b1 − a 1 b 3 )e 2 + (a 1 b 2 − a 2 b1 )e 3 .
Podwójny iloczyn skalarny, korzystając z poprzedniego wyniku, zapisujemy
następująco:
r r r
A × (B × C)
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
= (a 1e1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) × [(b1e1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) × (c1e1 + c 2 e 2 + c 3e 3 )]
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
= (a 1e1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) × [(b 2 c 3 − b 3c 2 )e1 + (b 3 c1 − b1c 3 )e 2 + (b1c 2 − b 2 c1 )e 3 ]
ˆ
ˆ
= e1[a 2 (b1c 2 − b 2 c1 ) + a 3 (b1c 3 − b 3c1 )] + e 2 [a 1 (b 2 c1 − b1c 2 ) + a 3 (b 2 c 3 − b 3c 2 )]
ˆ
+ e 3 [a 1 (b 3 c1 − b1c 3 ) + a 2 (b 3 c 2 − b 2 c 3 )].
r r 2
r r 2
1.2. Wykazać, że: ( A × B) = A 2 B 2 − ( A ⋅ B) .
Rozwiązanie
Korzystając najpierw z definicji kwadratu iloczynu wektorowego, mamy:
2
r
r
( A × B)
2
r r r r
= ( A × B )( A × B ).
Ponieważ każdy z iloczynów wektorowych, po prawej stronie tego równania, można
przy pomocy definicji zapisać następująco:
r r
A × B = AB sin α ,
gdzie α jest kątem między wektorami a i B, to kwadrat iloczynu wektorowego wektorów a
i B, przyjmuje postać:
r
r
(A × B)(A × B) = A B
r
r
2
2
(
)
sin 2 α = A 2 B 2 1 − cos 2 α .
Po prawej stronie, drugi wyraz jest kwadratem iloczynu skalarnego wektorów A i B.
Mamy zatem wynik:
r r
r r
( A × B) 2 = A 2 B 2 − ( A ⋅ B) 2 ,
który należało otrzymać.
1.3. Znaleźć gradient funkcji ϕ i jego wartość bezwzględną, jeżeli ϕ oznacza kąt
zawarty między dodatnią osią x i promieniem wodzącym punktu P(x, y).
Rozwiązanie
y
r
P(x,y)
ϕ
x
Z rysunku przedstawiającego wektor położenia r, punktu P na płaszczyźnie x, y, mamy
związki na współrzędne kartezjańskie tego punktu:
⎧x = r cos ϕ,
⎨
⎩y = r sin ϕ.
Rozwiązując ten układ równań względem ϕ, mamy:
⎛ y⎞
ϕ = arctg⎜ ⎟ .
⎝ x⎠
Zatem funkcja ϕ zależy od x i y. Gradient tej
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)