ZASADA NAJMNIEJSZEGO DZIAŁANIA HAMILTONA
Układ porusza się po ekstremali działania ( minimalizuje działanie)
Mamy do czynienia z dwoma rodzajami problemów:
Problem izoperymetryczny ( Dydony)
pod warunkiem, że Jeżeli problem ma rozwiązanie, to spełnia ono r Eulera-Lagranża dla Lagranżianu
Problem wakonomiczny
pod warunkiem, że Jeżeli problem ma rozwiązanie, to spełnia ono r. E-L dla Lagranżianu
MECHANIKA HAMILTONOWSKA
Funkcja Hamiltona . Jest to funkcja położeń i pędów cząstek badanego układu oraz czasu, mająca wymiar energi, która służy do wyznaczenia ruchu cząstek (czasowej zależności ich położeń). Położenia cząstek sa reprezentowane przez współrzędne uogólnione q (najczęściej są to położenia kartezjańskie x,y,z wektora położenia cząstki i współrzędne sferyczne r,, Pochodne współrzędnych względem czasu to prędkości uogólnione.
Przekształcenie Legendre'a
F(p)=pTv(p)-f(v(p))
Definiujemy hamiltonian (q,p)Rn H(q,p) = max(pTv-L(q,v))
Równania kanoniczne hamiltona:
Hamiltonian ma sens całkowitej energii układu, jest stały na trajektoriach - całka pierwsza!
STAŁE RUCHU UKŁADU HAMILTONOWSKIEGO. NAWIAS POISSONA
Hamiltonian jest całką pierwszą, niezmiennikiem, stałą ruchu układu.
Oraz F(q,p), gdy
Jest to NAWIAS POISSONA:
{F1,F2} = Własności:
{F,F}=0
{F1,F2}=-{F2,F1}
{F1,{F2,F3}}+{F2,{F3,F1}}+{F3,{F1,F2}}=0 - tożsamość Jacobiego
F(q,p) jest stałą ruchu wtedy i tylko wtedy, gdy {F,H}=0
TWIERDZENIE: Jeżeli F1(q,p),F2(q,p) są stałymi ruchu, to {F1,F2}(q,p) jest także stałą ruchu.
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)