...Statystyki otrzymane z danej próby losowej traktuje się jako punkt wyjścia do konstrukcji estymatorów, przez które rozumie się odpowiednie funkcje związane z próbą, podające reguły, według których można z pewnym przyjętym z góry prawdopodobieństwem ocenić wartość nieznanego parametru populacji generalnej. Estymator jest więc określoną statystyką z próby służącą oszacowaniu nieznanej wartości parametru populacji, a rozkład prawdopodobieństw statystyki będącej estymatorem parametru nosi nazwę rozkładu estymatora, np. może nim być rozkład t-Studenta, chi-kwadrat, F-Snedecora i inne, zwane rozkładami z próby. Konkretną wartość, jaką przyjmuje estymator, gdy podstawimy do funkcji określony układ obserwacji (wylosowanej próby), będziemy nazywać oceną parametru...
...Estymacja przedziałowa jest to szacowanie wartości parametru za pomocą tzw. przedziału ufności. Przedziałem ufności nazywamy taki przedział, który z zadanym z góry prawdopodobieństwem zwanym współczynnikiem (poziomem) ufności, pokrywa nieznaną wartość oszacowanego parametru...
...Przedział ufności dla wskaźnika struktury
Podstawowym parametrem populacji generalnej w przypadku analizy cech jakościowych jest wskaźnik struktury (frakcja, prawdopodobieństwo) lub - po przemnożeniu przez 100 procent elementów wyróżnionych w populacji mających badaną cechę. Oznaczamy go zwykle symbolem p, przy czym , gdzie M oznacza ogólną liczbę elementów wyróżnionych w populacji o liczebności...
1 ESTYMACJA
1. Wprowadzenie
W niniejszym podrozdziale omówimy podstawowe zagadnienia estymacji statystycznej, czyli oszacowania wartości nieznanych parametrów rozkładu populacji generalnej na podstawie próby losowej pobranej z tej populacji.
Statystyki otrzymane z danej próby losowej traktuje się jako punkt wyjścia do konstrukcji estymatorów, przez które rozumie się odpowiednie funkcje związane z próbą, podające reguły, według których można z pewnym przyjętym z góry prawdopodobieństwem ocenić wartość nieznanego parametru populacji generalnej. Estymator jest więc określoną statystyką z próby służącą oszacowaniu nieznanej wartości parametru populacji, a rozkład prawdopodobieństw statystyki będącej estymatorem parametru nosi nazwę rozkładu estymatora, np. może nim być rozkład t-Studenta, chi-kwadrat, F-Snedecora i inne, zwane rozkładami z próby. Konkretną wartość, jaką przyjmuje estymator, gdy podstawimy do funkcji określony układ obserwacji (wylosowanej próby), będziemy nazywać oceną parametru.
Od estymatorów wymaga się spełnienia pewnych warunków. Konieczne jest, aby był on co najmniej zgodny i nieobciążony, a wskazane − aby był także efektywny.
Estymator zgodny
Estymator parametru Θ nazywa się zgodnym, jeżeli spełniony jest warunek:
(1.1.)
przy dowolnie małej dodatniej wartości .
Estymator zgodny jest to więc estymator, który podlega działaniu prawa wielkich liczb. Gdy używa się estymatora zgodnego parametru Θ, wówczas stosowanie dużych prób losowych () zwiększa dokładność szacunku tego parametru.
Estymator nieobciążony
Estymator parametru Θ nazywa się nieobciążonym, jeżeli spełniona jest równość:
E() = Θ, (1.2)
tzn. estymator nieobciążony szacuje parametr Θ bez błędu systematycznego. Różnica to obciążenie estymatora. Obciążenie estymatora jest zwykle funkcją wielkości próby losowej. Jeżeli , to estymator taki jest nazywany estymatorem asymptotycznie nieobciążonym. Zgodność i nieobciążoność jest związana z prawem wielkich liczb.
Estymator najefektywniejszy
Estymator parametru Θ o moż
(…)
… losowa określona wzorem (1.13) lub (1.14) ma rozkład chi-kwadrat o stopniach swobody.
Estymacja wskaźnika struktury
Jeżeli populacja generalna jest badana ze względu na cechę jakościową, zachodzi często potrzeba oszacowania prawdopodobieństwa p traktowanego jako wskaźnik struktury populacji. Poniżej wyznaczamy estymator dla nieznanego parametru p.
Niech zbiorowość generalna ma rozkład zero-jedynkowy…
…
Przedział ufności dla wariancji w populacji generalnej można wyznaczyć, gdy cecha X charakteryzująca zbiorowość ma rozkład , przy czym parametry μ i σ są nieznane. Na podstawie próby losowej pochodzącej z tej populacji, przedział ufności dla nieznanej wariancji , przy współczynniku ufności ma postać: (1.21)
lub równoważną postać: . (1.22)
Wartości odczytujemy z tablic rozkładu chi-kwadrat o stopniach…
… można wnioskować na podstawie losowo pobranej próby z populacji generalnej. Wnioskowanie statystyczne o słuszności sformułowanej hipotezy będziemy nazywać sprawdzianem lub weryfikacją hipotezy.
Hipoteza statystyczna może dotyczyć postaci rozkładu zmiennej losowej (np. może to być hipoteza, że rozkład ten jest rozkładem Poissona) lub wartości pewnych parametrów rozkładu (np. hipoteza dotycząca wartości odchylenia…
… do wymaganego poziomu i w ten sposób zwiększyć tzw. moc testu. Wiąże się to jednak ze stratą korzyści, jakie niesie ze sobą metoda reprezentacyjna. Dobry test statystyczny powinien mieć zatem tę własność, że β również powinno być bliskie 0.
W badaniach zjawisk społeczno-ekonomicznych dość powszechny jest inny sposób postępowania - uznaje się popełnienie błędu pierwszego rodzaju za bardziej niebezpieczne…
…. Każdej zaobserwowanej w próbie wartości xi (lub ) zmiennej X przypisujemy odpowiednią liczbę obserwacji f1, ..., fk spełniających warunek: f1 + f2 + ... + fk = n. Otrzymujemy w ten sposób tzw. rozkład empiryczny badanej cechy. Na podstawie wyników tej próby należy sprawdzić hipotezę zerową H0, że populacja generalna ma określony typ rozkładu (np. rozkład normalny, dwumianowy, Poissona). Z teoretycznego…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)