Jest to zbiór notatek z wykładów. Jego objętość to 46 stron. Matematyka dla ekonomistów to nic innego jak połączenie 3 działów matematyki czyli: logika, analiza matematyczna i algebra. Logika to podstawowe pojęcia takie jak: alternatywa dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy, koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy, implikacja dwóch zdań jest fałszywa wtedy i tylko wtedy gdy, równoważność dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, negacja zdania jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy gdy, a także coś bardziej skomplikowanego jak zbiory i wszystkie najważniejsze rzeczy o nich. Ponadto przedstawiona jest teoria na temat funkcji jednej zmiennej, granica i ciągłość funkcji, elementy matematyki finansowej, rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej, asymptoty, twierdzenie de l'hospitala, wypukłość, wklęsłość, punkt przegięcia, badanie przebiegu wykresu funkcji, zastosowanie ekonomiczne. Inną zmorą studentów jest rachunek całkowy o którym całkiem sporo jest tu powiedziane. Pojawiają się też elementy rachunku prawdopodobieństwa, a w nim miara ryzyka portfela. Elementy algebry liniowej to kolejny dział matematyki tu poruszanej. Oczywiście układy równań i nierówności liniowych w liceum rozwiązywało się w nieco inny sposób, wektory, układ Cramera i twierdzenie Kroneckera ? Capellego, metoda Gaussa ? Jordana (metoda operacji elementarnych), układy nierówności liniowych, przykłady zastosowań układów do rozwiązywania zagadnień ekonomicznych, model przepływów międzygałęziowych Leontiefa, programowanie liniowe, twierdzenie sylwestra. Gdybyście chcieli przejść na wyższy poziom proponuję rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych, twierdzenie Schwarza, ekstremum warunkowe funkcji wielu zmiennych, przykłady zastosowań pochodnych cząstkowych. Elementy równań różniczkowych zwyczajnych to już nie to samo co poprzednie działy ale uzupełnienie zawsze niezupełnej wiedzy studenta jest in plus ( między innymi równanie różniczkowe Bernoulliego)
LOGIKA
ZDANIE - wyrażenie, któremu możemy przyporządkować wartość logiczną: prawda lub fałsz, możemy o nim powiedzieć, że jest prawdziwe lub fałszywe.
Alternatywa dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy przynajmniej jedno ze zdań jest prawdą.
Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy obydwa zdania są prawdziwe.
Implikacja dwóch zdań jest fałszywa wtedy i tylko wtedy gdy poprzednik jest prawdziwy i następnik jest fałszywy.
Równoważność dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy obydwa zdania mają tę samą wartość logiczną.
Negacja zdania jest zdaniem prawdziwym wtedy i tylko wtedy gdy zdanie jest zdaniem fałszywym. TAUTOLOGIA - schemat zdania, który jest zawsze prawdziwy, niezależnie od wartości zmiennych zdaniowych w nich występujących prawa de Morgana dla zdań : Jeżeli schemat wnioskowania jest tautologią to nazywamy go dedukcyjnym.
Schemat dowodu wprost = modus ponendo ponens Sposób obalający przez obalenie = modus tollendo tollens FORMĄ (FUNKCJĄ) ZDANIOWĄ argumentu x, xD, nazywamy każde wyrażenie, które zawiera zmienną x z dziedziny D i które staje się zdaniem, gdy w miejsce argumentu x wstawimy element ze zbioru D. Dopisane do formy zdaniowej kwantyfikatora szczegółowego lub ogólnego powoduje, że powstaje zdanie.
prawa de Morgana dla kwantyfikatorów ZBIORY
Nie ma definicji zbioru - jest to pojęcie pierwotne
ILOCZYNEM KARTEZJAŃSKIM zbiorów A i B nazywamy zbiór par liczb (a,b) uporządkowanych takich, że a. Iloczyn kartezjański nie jest prze
(…)
… jedno rozwiązanie
układy nieoznaczone - posiadające nieskończenie wiele rozwiązań
układy sprzeczne - nie posiadające żadnego rozwiązania
Dwa układy równań liniowych nazywamy układami równoważnymi, jeżeli każde rozwiązanie jednego układu jest jednocześnie rozwiązaniem drugiego układu i odwrotnie.
METODY ROZWIĄZYWANIA I. Układ Cramera
Układ równań liniowych Ax=b nazywamy układem Cramera wtedy i tylko wtedy gdy:
ilość równań w układzie jest równa ilości niewiadomych
macierz A tego układu jest macierzą nieosobliwą
1. metoda za pomocą macierzy odwrotnej : Ax=b 2. wzory Cramera
Twierdzenie: jeżeli układ równań liniowych jest układem Cramera to posiada rozwiązanie wyrażone wzorami nazywanymi wzorami Cramera
, , ..., (j=1,2,...,n) - jest wyznacznikiem macierzy powstałej z macierzy A w wyniku zastąpienia jej j-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych
II. Z twierdzenia Kroneckera Capellego
Macierz uzupełniona powstaje przez dołączenie do macierzy A kolumny wyrazów wolnych b Twierdzenie Kroneckera - Capellego
Układ równań liniowych Ax=b nie jest układem sprzecznym wtedy i tylko wtedy gdy rzA=rzU ; przy czym jeżeli rzA=rzU=n to układ jest układem oznaczonym, a jeżeli rzA=rzU<n to układ jest układem nieoznaczonym.
Wniosek…
… jest funkcją stałą w przedziale (a,b)
TW: Funkcja f jest funkcją niemalejącą (nierosnącą) na X wtedy i tylko wtedy, gdy
TW: Funkcja f jest funkcją rosnącą (malejącą) na X wtedy i tylko wtedy, gdy ) oraz f' nie równa się tożsamościowo zero na żadnym podprzedziale przedziału X. - 1,2,3 są to twierdzenia określające warunki konieczne i wystarczające monotoniczności funkcji.
Def: Funkcja f(x) posiada…
…:
Macierz A nazywamy macierzą współczynników przy niewiadomych lub macierzą układu równań liniowych; wektor x nazywamy wektorem niewiadomych, a wektor b wektorem wyrazów wolnych.
Postać macierzowa układu równań liniowych : Jeżeli n=m to detA nazywamy wyznacznikiem układu równań liniowych.
Rozwiązaniem układu równań liniowych Ax=b jest każdy wektor , którego współrzędne spełniają wszystkie równania…
…
określona dla x>0
ściśle rosnąca
ściśle malejąca
GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI
Funkcja określona na pewnym sąsiedztwie , czyli na zbiorze .
Granica według Heinego:
Liczbę g nazywamy granica funkcji f w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu o wyrazach , zbieżnego do , ciąg jest zbieżny do g: Uwagi:
1. jeżeli w powyższej definicji sąsiedztwo zastąpimy sąsiedztwem lewostronnym lub prawostronnym , to otrzymamy definicje granicy lewostronnej lub prawostronnej w punkcie : 2. jeżeli w powyższej definicji ciąg jest zbieżny do lub do , to mówimy, ze funkcja w punkcie ma granice niewłaściwą
3. jeżeli w definicji granicy ciąg jest rozbieżny do lub do , to mówimy o granicy funkcji w nieskończoność i piszemy: Twierdzenia ułatwiające obliczanie granic:
TWIERDZENIE 1. ( o działaniach arytmetycznych na granicach…
… funkcji do względnego przyrostu argumentu:
Elastyczność jest to procentowa zmiana wartości funkcji, która odpowiada zmianie argumentu o 1% Granica elastyczności funkcji f na przedziale nazywana jest elastycznością funkcji f w punkcie x :
RACHUNEK CAŁKOWY
CAŁKI NIEOZNACZONE
F(x) nazywamy funkcja pierwotną funkcji f(x) na przedziale X wtedy i tylko wtedy gdy Podstawowe twierdzenie o funkcjach…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)