PODSTAWOWE ZALEŻNOŚCI FUNKCYJNE W WYBORZE KONSUMENTA
WIĄZKI PRODUKTOWE
Zbiór wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych oznacza się przez R+.
czyli R+ = [0,∞) = {x : x ≥ 0; zbiór wszystkich „nieujemnych” wektorów o
wymiarze n oznacza się jako Rn+, a więc Rn+ = {x : x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, …., xn ≥ 0}
Można używać wektorów z Rn+ do oznaczania wiązek produktowych. Na
przykład wektor
5
1
q=
2
0,3
może opisywać zakupy zrobione przez konsumenta, który nabył określone
towary w odpowiednich ilościach:
piwo
5 puszek
czekolada
1 tabliczka
mleka
2 kartony
winogrona
0,3 kg
W rozważaniach teoretycznych za przestrzeń produktów często przyjmuje się
płaszczyznę R2+, chociażby dlatego, że łatwo przedstawić na wykresie.
Wówczas drugi produkt można traktować jako agregat pozostałych dóbr, które
konsument mógłby zakupić.
zagregowany produkt
mierzony jako koszt w zł
x2
R
n
•
wiązka produktowa
+
0
przestrzeń produktów
x1
1
WEKTORY CEN
Za wiązkę produktową q konsument przy obowiązujących cenach:
czekolada
2zł za tabliczkę
piwo
3 zł za puszkę
mleko
1 zł za kartonik
winogrona
30 zł kilogram
musi zapłacić
(2 × 5) + (3 × 1) + (1 × 2) + (30 × 0,3) = 24 zł
Za tym wyrażeniem kryje się wektor cen p ∈ Rn+, w tym wypadku
2
3
p=
1
30
Wartością wiązki produktowej q jest iloczyn skalarny p⋅ q = p1q1 + p2q2 + … +
pnqn = 24, gdzie n = 4.
INDEKSY
Jak zmieniło się „średnie” spożycie konsumenta w czasie?
1
1
w1 x1 + w2 y1
IQ =
0
0
w1 x0 + w2 y0
gdzie:
IQ – indeks ilości
w1 , w2 – wagi do wyznaczenia średniej
x00, y00 – koszyk dóbr w okresie wyjściowym (stary)
x11, y11 – koszyk dóbr w okresie t (nowy)
Jeżeli IQ 1, to przeciętne spożycie wzrosło w okresie od 0 do 1,
jeżeli IQ 1, to z nierówności
px1x11 + py1y11 px1x00 +py1y00,
wynika, że dobrobyt konsumenta w okresie t1 jest lepsze niż w t0.
Gdyby było odwrotnie, tj.
px1x11 + py1y11
(…)
… to indyferentność
wobec x i y, którą zapisuje się
x ∼ y. Jeżeli x ≾ y, ale nie jest prawdą,
że x ∼ y, to wówczas y jest ściśle preferowane nad x (x ≺ y).
Zbiór postaci
S = {x : x ≿ y} nazywa się zbiorem preferencyjnym.
Własności zbioru preferencyjnego nie założonego explicite:
1. brzeg zbioru S jest gładką krzywą obojętności
2. preferencje są monotoniczne, czyli więcej dobra znaczy wyższa
użyteczność
3. preferencje są wypukłe (zbiór S jest wypukły, czyli jeżeli punkty
należą do zbioru S, to S zawiera cały odcinek łączący te punkty).
5
S
lepsze wiązki
y•
gorsze wiązki
0
zbiór preferencyjny
a•
S
S
a•
b•
zbiór niewypukły
b•
zbiór wypukły
a
b
zbiór wklęsły
6
Preferencje są wypukłe, gdy konsumenci lubią mieszanki. Jeśli założyć, że a ∼
b, tj. konsument jest obojętny wobec a i b, to a leży na krzywej obojętności
przechodzącej przez b.
a•
S
• x
b•
Jeśli preferencje są wypukłe, to każda kombinacja a z b będzie należała do
zbioru preferencyjnego S, a więc konsument preferuje ją co najmniej tak, jak a
lub b.
Preferencje Cobba – Douglasa
q1αq2β = γ
gdzie:
α i β są ustalonymi stałymi parametrycznymi
γ stałą zależną od poziomu obojętności
q2
kiedy α = β = 1 krzywe obojętności są
hiperbolami prostokątnymi
q1αq2β = 2
q1αq2β…
…
Jeśli konsument znajduje się na linii ograniczenia budżetowego, to
I - PXX - PYY = 0
a rozwiązanie problemu występuje za pomocą funkcji Lagrange’a
V (X,Y,λ) = U(X,Y) + λ(I - PXX - PYY)
gdzie: λ mnożnik Lagrange’a
Warunkami koniecznymi, aby zaistniał punkt optymalny, są pierwsze pochodne
funkcji V względem wszystkich zmiennych, które muszą być równe zeru:
∂V ∂U
=
− λ ⋅ PX = 0
∂X ∂X
∂V ∂U
=
− λ ⋅ PY = 0
∂Y ∂Y
∂V…
…, wówczas konsumowaliby zgodnie ze swoimi
preferencjami (R i S). Rozdział dóbr oznacza stratę dobrobytu, gdyż realizują
użyteczność na niższym poziomie.
racjonowanie dobra
(a)
Y
I0
czarny rynek
(b)
Y
Y2
F
Y1
H
G
Y0
I1
I0
L
F
H
G
K
0
X0
X 0
X0
X2
X1
Dobro X jest racjonowane w ilości 0X0 (a). Konsument preferujący to dobro
osiągnąłby równowagę w G, tymczasem zmuszony jest do niższej konsumpcji,
tracąc…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)