Fragment notatki:
3. Kinematyka ruchu jednostajnego, zmiennego, jednostajnie zmiennego,
rzuty.
Wybór i opracowanie zadań 3.1-3.22: Barbara Kościelska, zadań 3.23-3.25: Ryszard J.
Barczyński i zadań 3.26-3.36: Krystyn Kozłowski.
3.1. Zależność drogi przebytej przez punkt materialny od czasu można opisać równaniem: x(t)
= At + Bt2 + Ct3, gdzie A, B i C są wielkościami stałymi wyrażonymi w odpowiednich
jednostkach. Znaleźć zależność prędkości i przyspieszenia tego punktu od czasu.
3.2.* Rakieta ustawiona jest na wysokości h nad powierzchnią ziemi. Po starcie porusza się
pionowo w górę, a jej przyspieszenie zmienia się zgodnie z zależnością a = kt2, gdzie k jest
stałą wyrażoną w odpowiednich jednostkach. Znaleźć zależność prędkości oraz drogi rakiety
od czasu.
3.3. Prom kursuje pomiędzy punktami A i B leżącymi na
przeciwległych brzegach rzeki. Odległość między punktami
A i B wynosi d, a linia AB tworzy kąt α z brzegiem rzeki.
Prędkość v1 wody w rzece jest stała na całej szerokości
rzeki. Jakie powinny być wartość i kierunek prędkości v2
promu względem wody, aby przebył on drogę d w czasie t?
3.4.* Prędkość wody w rzece zmienia się wraz z
szerokością rzeki według równania: v = 4x2 + 4x + 0,5 [m/s], gdzie x = a/b (a jest odległością
od brzegu a b szerokością rzeki). O jaki odcinek prąd wody w rzece zniesie łódkę przy
przeprawie na drugi brzeg, jeżeli prędkość vl łódki względem wody jest stała i ma kierunek
prostopadły do brzegu rzeki. szerokość rzeki wynosi d.
3.5. Znaleźć czas przelotu samolotu między dwoma punktami
odległymi od siebie o L, jeżeli prędkość samolotu względem
powietrza wynosi v1, a prędkość przeciwnego wiatru
skierowanego pod kątem α względem kierunku ruchu samolotu
wynosi v2.
3.6. Ciało rzucono pod kątem α do poziomu nadając mu prędkość v0. (a) Napisać
kinematyczne równania ruchu ciała. (b) Napisać równania toru ciała. (c) obliczyć czas lotu
ciała. (d) Obliczyć zasięg rzutu. (e) Znaleźć maksymalną wysokość, na jaką wzniesie się
ciało.
3.7. Na jakiej wysokości wektor prędkości ciała wyrzuconego z prędkością początkową v0
pod kątem α do poziomu, utworzy kąt β (αβ) ? Nie uwzględniać oporu powietrza. Napisać
kinematyczne równania ruchu ciała.
3.8. Z jaką prędkością poziomą v1 powinien lecieć lotnik na wysokości h nad torami, w chwili
gdy przelatuje on nad punktem A, aby puszczony przez niego ładunek trafił w uciekający z
prędkością v2 pociąg, który znajduje się w odległości d od A (samolot i pociąg poruszają się w
tym samym kierunku)?
3.9. Dwa ciała wyrzucono jednocześnie z dwóch różnych punktów. Jedno ciało zostało
rzucone poziomo z prędkością v0x z wieży o wysokości h, drugie wyrzucono pionowo z
prędkością v0y z miejsca odległego o x0 od podnóża wieży. Jaka powinna być prędkość v0y,
aby ciała zderzyły się w powietrzu?
3.10. Ciało spada swobodnie z wieży. W chwili, gdy przebyło ono drogę równą L, z punktu
położonego o h metrów niżej od wierzchołka wieży zaczyna spadać drugie ciało. Oba ciała
spadają na ziemię w tej samej chwili. Znaleźć wysokość wieży.
3.11. Z samolotu lecącego na wysokości h ze stałą prędkością poziomą v zostaje zrzucona
bomba. Napisać równania ruchu, prędkości i przyspieszenia bomby względem obserwatora
stojącego na ziemi oraz względem pilota samolotu.
3.12. W wagonie pociągu jadącego ze stałą prędkością v, jeden z pasażerów upuścił z
wysokości h względem podłogi wagonu pudełko zapałek. Napisać równanie toru tego
pudełka, w układzie odniesienia związanym z: (a) wagonem, (b) szynami.
3.13. Koło zamachowe wykonujące n0 = 240 obr/min zatrzymuje się w czasie t1 = 0,5 min.
Przyjmując, że ruch jest jednostajnie zmienny obliczyć, ile obrotów koło wykonało do chwili
zatrzymania się.
3.14. Równania ruchu punktu znajdującego się na obwodzie koła toczącego się bez poślizgu
wzdłuż osi x mają postać:
x = R sinωt + ωRt
y = R cosωt + R .
Oblicz prędkość i przyspieszenie punktu na obwodzie w chwili, gdy współrzędna y ma
wartość (a) minimalną, (b) maksymalną, (c) y = ymax/2.
3.15. Obręcz o promieniu R toczy się bez poślizgu po prostej.
Prędkość środka O obręczy jest stała i wynosi v0. Oblicz wartości
oraz wskaż kierunki i zwroty chwilowych prędkości i przyspieszeń
tych punktów tarcz, które w rozważanej chwili znajdują się w
punktach oznaczonych literami A, B i C.
3.16. Obręcz o promieniu R toczy się bez poślizgu po prostej.
Przyspieszenie środka O obręczy jest stałe i wynosi a0. Oblicz
wartości oraz wskaż kierunki i zwroty chwilowych przyspieszeń
tych punktów tarcz, które w rozważanej chwili znajdują się w
punktach oznaczonych literami A, B i C.
3.17. Koniec liny (A) przesuwa się ze stałą prędkością v
skierowaną w prawo. Lina nawinięta jest na układ
współśrodkowych, kołowych tarcz pokazanych na rysunku
(promień małego koła = r, dużego = R). Oblicz wartości
oraz wskaż kierunki i zwroty chwilowych prędkości i
przyspieszeń tych punktów tarcz, które w rozważanej
chwili znajdują się w punktach oznaczonych literami B, C,
D, E i F.
3.18. Na szpulę o promieniach R i r nawinięto linę, której
koniec A ma stałą prędkość u. Obliczyć, jaką drogę SB
przebędzie koniec A liny, gdy odcinek AB liny nawinie się
na szpulę.
3.19. Koło obraca się wokół swojej osi. Znaleźć jego przyspieszenie kątowe jeżeli wiadomo,
że po upływie czasu t od rozpoczęcia ruchu jednostajnie przyspieszonego, wektor
całkowitego przyspieszenia punktu położonego na obwodzie tworzy kąt α z kierunkiem
prędkości liniowej tego punktu.
3.20. Punkt materialny zaczyna poruszać się po okręgu z przyspieszeniem stycznym as.
Znaleźć jego wypadkowe przyspieszenie aw po u = 0,1 obrotu.
3.21.* Taśma magnetofonowa jest przewijana z drugiej szpulki na pierwszą, która obraca się
ze stała prędkością kątową ω1. W chwili początkowej promienie krążków nawiniętej taśmy
były odpowiednio równe R01 i R02. grubość taśmy wynosi a. Znaleźć: (a)zależność długości
nawiniętej taśmy od czasu, (b) zależność prędkości przesuwu taśmy od czasu.
3.22. Ciało rzucono z pewnej wysokości z prędkością v0 w kierunku poziomym. Obliczyć
jego prędkość, przyspieszenie styczne i normalne oraz promień krzywizny toru po czasie t.
Opory powietrza pominąć.
3.23. Narciarz na nartach wodnych porusza się częstokroć znacznie szybciej niż ciągnąca go
motorówka. Jak to jest możliwe?
3.24. System napędu samochodu posiada w torze przeniesienia napędu tak zwany mechanizm
różnicowy, który pozwala obracać się kołom samochodu z różną prędkością. Dlaczego jest to
konieczne?
3.25. Ciało porusza się wzdłuż osi x według zależności x=Asin(ωt), gdzie A i ω są
wielkościami stałymi. Narysuj wykresy położenia, prędkości i przyspieszenia w funkcji czasu.
Jakie są maksymalne wartości prędkości i przyspieszenia?
3.26. Załoga statku Apollo umieściła na powierzchni Księżyca zwierciadło odbijające światło
laserowe wysyłane z powierzchni Ziemi. Obliczyć odległość Księżyca od Ziemi wiedząc, że
światło odbite od zwierciadła zarejestrowano po czasie t = 2,6 s. od chwili wysłania go z
Ziemi. Przyjąć prędkość światła w próżni c = 3·108 m/s.
3.27. Koń wykonał n = 4 okrążenia wokół kolistej areny cyrkowej o promieniu r = 12 m w
czasie t = 120 s, wracając do punktu wyjścia. Obliczyć
a) średnią wartość prędkości konia,
b) średni wektor prędkości konia.
3.28. Samochód przebył pierwszą połowę drogi ze stałą prędkością v1 =20 m/s, a drugą
połowę ze stałą prędkością v2=30 m/s. Obliczyć średnią prędkość samochodu na całym
odcinku drogi.
3.29. W pierwszej połowie czasu swojego ruchu samochód jechał ze stałą prędkością v1=20
m/s, a w drugiej połowie czasu, ze stałą prędkością v2 = 30 m/s. Obliczyć średnią prędkość
samochodu na całym odcinku drogi
3.30. Łódka płynie rzeką z miejscowości A do B i z powrotem. Prędkość łódki względem
wody v1 = 5 m/s, a prędkość wody względem brzegów rzeki v2 = 2 m/s. Obliczyć średnią
wartość prędkości łódki względem brzegów rzeki na całym odcinku jej drogi.
3.31. Pociąg jadący z prędkością v0 = 18 m/s zaczyna hamować i zatrzymuje się w ciągu
czasu t = 15 s. Obliczyć przyspieszenie a i drogę s przebytą przez pociąg do chwili
zatrzymania się zakładając, że w czasie hamowania poruszał się on ruchem jednostajnie
zmiennym.
3.32. Swobodnie puszczona kulka stalowa odbija się (bez strat energii) od poziomej,
doskonale sprężystej powierzchni, uderzając w nią co jedną sekundę. Jak wysoko podskakuje
kulka? Przyjąć g = 10 m/s2.
3.33. Z pewnego miejsca nad powierzchnią Ziemi zaczęło spadać swobodnie ciało A. Po
określonym odstępie czasu ∆t = const. , z tego samego miejsca, zaczęło spadać swobodnie
ciało B. Jakim ruchem porusza się jedno z tych ciał względem drugiego ?
3.34. Z powierzchni Ziemi wyrzucono pionowo do góry ciało A z prędkością początkową v0,
niezbędną do osiągnięcia maksymalnej wysokości H. Jednocześnie, z punktu położonego na
wysokości H nad powierzchnią Ziemi, zaczęło spadać swobodnie ciało B. Na jakiej
wysokości h nad powierzchnią Ziemi ciała te spotkają się?
3.35. Struga wody wypływa z rury z prędkością v0 = 20 m/s pod kątem α = 45 0 do
poziomu. Na jakiej wysokości h trafi ona w ścianę znajdującą się w odległości d = 60 m od
wylotu strugi? Przyjąć g = 10 m/s2, wpływ oporu powietrza pominąć. Podać krótką
interpretację uzyskanego wyniku.
3.36*. Pocisk artyleryjski rozerwał się na dwa fragmenty, które zaczęły się poruszać w polu
grawitacyjnym Ziemi z prędkościami początkowymi (nie pionowymi) o takich samych
r
r
r
r
wartościach, ale o zwrotach przeciwnych: v01 = v0 , v02 = −v 0 . Po jakim czasie od rozerwania
się pocisku wektory prędkości obu fragmentów będą wzajemnie do siebie prostopadłe?
Przyspieszenie grawitacyjne równe jest g.
Rozwiązania:
3.1.R. Korzystając z definicji prędkości chwilowej oraz przyspieszenia chwilowego
otrzymamy następujące równania opisujące zależność prędkości v i przyspieszenia a od
czasu:
v=
oraz
dx
= A + 2 Bt + 3Ct 2 ,
dt
a=
dv
= 2 B + 6Ct .
dt
3.2.R.* Przyspieszenie rakiety dane jest równaniem:
(1) a = kt 2 .
Przyspieszenie chwilowe:
(2) a =
Z (1) i (2):
dv
.
dt
dv
= kt 2 ,
dt
dv = kt 2 dt ,
1
(3) v = ∫ kt 2 dt = kt 3 + C1 ,
3
gdzie C1 jest stałą. Wiadomo, że w chwili czasu t = 0, v = 0. Po podstawieniu tych wartości do
równania (3) otrzymamy stałą C1 = 0, czyli zależność prędkości rakiety od czasu:
Prędkość chwilowa:
1
(4) v = kt 3
3
(5) v =
Z (4) i (5):
.
ds
.
dt
ds 1 3
= kt ,
dt 3
1
ds = kt 3 dt ,
3
1
1
(6) s = ∫ kt 3 dt = kt 4 + C2
3
12
,
gdzie C2 jest stałą. Wiadomo, że w chwili czasu t = 0 rakieta znajdowała się na wysokości h
nad powierzchnią ziemi, czyli s = h. Podstawiając te wartości do równania (6) otrzymamy
stałą C2 = h, czyli zależność drogi przebytej przez rakietę od czasu:
s =h+
1 4
kt
12
.
3.3.R. Prędkość v promu względem brzegu jest wypadkową
prędkości v1 wody w rzece i prędkości v2 promu względem
wody.
r r r
v = v1 + v2 .
Wektor prędkości v2 można rozłożyć na dwie składowe:
równoległą (v'2) i prostopadłą do brzegu rzeki (v''2).
Wartości tych składowych można zapisać:
(1)
v'2 = vcos α − v1 ,
v' '2 = vsin α .
Wiadomo, iż prom musi pokonać drogę d w czasie t, czyli
jego prędkość v:
v=
Równania (1) przybiorą wówczas postać:
Z rysunku wynika, że:
d
.
t
d
v'2 = cos α − v1 ,
t
d
v' '2 = sin α .
t
d
d
v2 = v'2 + v' '2 = ( cos α − v1 ) 2 + ( sin α ) 2 .
2
2
t
t
Kierunek wektora prędkości v2 znajdujemy znajdując wartość kąta β:
tan β =
v ' '2
d sin α
=
.
v'2 d cos α − v1t
3.4.R.* Odcinek s o jaki prąd wody w rzece zniesie łódkę w czasie t1 jej przeprawy na drugą
stronę rzeki:
t1
(1) s = ∫ vdt ,
0
gdzie:
v = 4 x 2 + 4 x + 0,5 ,
x = a/b.
Czas przeprawy można zdefiniować jako:
t1 =
b
.
vl
Czas t, w którym łódka znajduje się w odległości a od brzegu:
t=
a bx
= ,
vl vl
skąd:
dt =
b
dx .
vl
Wówczas równanie (1):
s=
b1
b 4
b
2
∫ (−4 x + 4 x + 0,5)dx = (− + 2 + 0,5) ≅ 1,17 .
vl 0
vl 3
vl
3.5.R. Wskazówka: Prędkość samolotu względem
ziemi jest wypadkową prędkości samolotu
względem powietrza oraz prędkości wiatru.
Wówczas czas przelotu samolotu między dwoma
punktami odległymi od siebie o L wynosi:
t=
L
v − v sin α − v2 cos α
2
1
2
2
2
.
3.6.R.
(a)
Równania ruchu mają postać:
(1)
x = v0 x t = v0 t cos α ,
( 2)
gt 2
gt 2
y = v0 y t −
= v0 t sin α −
.
2
2
(b)
Równanie toru ciała:
Wyznaczając czas z równania (1):
t=
x
v0 cosα
i podstawiając do równania (2) otrzymamy równanie toru ciała:
y = tan α x −
g
x2 .
2
2v cos α
2
0
Torem ciała jest parabola skierowana ramionami w dół.
(c)
Czas lotu ciała, tz, można obliczyć podstawiając w równaniu (2) y = 0:
0 = v0 t z sin α −
Czyli:
t z1 =
2v0 sin α
g
gt z2
.
2
lub t z 2 = 0 .
Czas tz2 = 0 oznacza moment, w którym dopiero rozpoczyna się lot kamienia, czyli czas lotu
ciała tz = tz1:
(3) t z =
2v0 sin α
g
.
(d)
Zasięg rzutu, z, można obliczyć podstawiając w równaniu (1) t = tz (czyli czas całego
lotu opisany równaniem (3)). Wówczas współrzędna x będzie równa zasięgowi rzutu, x = z:
z = v0 t z cosα .
Otrzymamy wówczas:
2
v0 sin 2α
z=
.
g
(e)
Czas w jakim ciało wzniesie się na maksymalna wysokość jest równy połowie czasu tz
(równanie (3)). Podstawiając w równaniu (2) t = ½tz otrzymamy maksymalną wysokość, na
jaką wzniesie się ciało:
2
hmax
⎛1 ⎞
g⎜ tz ⎟
1
2 ⎠
= v0 t z sin α − ⎝
,
2
2
2
v0 sin 2 α
hmax =
.
2g
3.7.R. Odpowiedź: Równania ruchu są takie same jak w zadaniu 3.6, a szukana wysokość
wynosi:
2
v0
(sin 2 α − cos 2 α tan 2 β )
h=
2g
3.8.R. Równania ruchu pocisku (1) i pociągu (2) w
przedstawionym na rysunku układzie współrzędnych
mają postać:
x1 = v1t
(1)
(2)
gt 2
y1 = h −
,
2
x2 = d + v2 t
y2 = 0 .
Współrzędne x1 i y1 pocisku muszą w momencie trafienia być równe współrzędnym x2 i y2
pociągu. W rezultacie otrzymujemy:
v1 =
d
+ v2 .
2h
g
3.9.R. Odpowiedź:
v0 y =
h
v0 x .
x0
3.10.R. Odpowiedź:
( L + h) 2
H=
.
4L
3.11.R. Z punktu widzenia obserwatora stojącego
na ziemi prędkość bomby w kierunku poziomym
jest równa prędkości samolotu v i pozostaje stała.
Równania ruchu bomby w układzie odniesienia
(x1,y1), związanym z obserwatorem stojącym na
ziemi mają postać:
x1 = vt ,
gt 2
y1 = h −
.
2
Różniczkując
powyższe
równania
otrzymujemy równania prędkości:
ruchu
v1 x = v ,
v1 y = − gt .
Różniczkując równania opisujące prędkość otrzymamy przyspieszenia:
a1 x = 0 ,
a1 y = − g.
W układzie odniesienia (x2,y2) związanym z pilotem równania ruchu bomby w
przyjętym układzie współrzędnych mają postać:
x2 = 0 ,
gt 2
.
y2 = −
2
Różniczkując powyższe równania ruchu otrzymujemy równania prędkości:
v2 x = 0 ,
v2 y = − gt .
Różniczkując równania opisujące prędkość otrzymamy przyspieszenia:
a2 x = 0 ,
a2 y = − g .
3.12.R. (a) W układzie odniesienia (x1,y1)
związanym z wagonem równania ruchu mają
postać:
x1 = 0 ,
czyli równanie toru:
gt 2
y1 =
,
2
x1 = 0 .
(b) W układzie odniesienia (x2, y2) związanym
z szynami:
x2 = vt ,
gt 2
y2 = h −
.
2
Równanie toru:
y2 = h −
g 2
x2 .
2v 2
3.13.R. Ilość obrotów można zdefiniować jako stosunek drogi kątowej ϕ, którą przebył
dowolny punkt znajdujący się na obwodzie koła w czasie t1, do kąta 2π:
(1)
N=
ϕ1
.
2π
Ruch koła jest ruchem jednostajnie opóźnionym, czyli droga kątowa przebyta przez wybrany
punkt znajdujący się na jego obwodzie:
(2) ϕ1 = ω0t1 −
Ponieważ po czasie t1 koło się zatrzymuje, więc:
εt12
2
.
ω = ω0 − εt1 = 0 ,
czyli:
(3) ω0 = ε t1 = 2π n0 .
Z (2) i (3) otrzymamy:
(4) ϕ1 = π n0t1 .
Podstawiając (4) do (1) otrzymamy:
N=
n0t1
= 60 obrotów .
2
3.14.R. Równania ruchu punktu mają postać:
(1)
x = R sinωt + ωRt ,
y = R cosωt + R .
Różniczkując równania ruchu otrzymamy prędkość:
dx
= Rω cosωt + ωR ,
dt
dy
= − Rω sinωt ,
vy =
dt
vx =
(2)
Różniczkując równania prędkości otrzymamy przyspieszenie:
dvx
= − Rω 2 sinωt ,
dt
dv
a y = y = − Rω 2 cosωt .
dt
ax =
(3)
(a) Z równań ruchu (1) wynika, że współrzędna y ma wartość minimalną (czyli y = 0), gdy
cos(ωt) = -1. Prędkość (2) i przyspieszenie (3) punktu są wówczas odpowiednio równe:
vx = 0 ,
v y = 0.
ax = 0 ,
a y = Rω 2 .
(b) Z równań ruchu (1) wynika, że współrzędna y ma wartość maksymalną (czyli y = 2R), gdy
cos(ωt) = 1. Prędkość (2) i przyspieszenie (3) punktu są wówczas odpowiednio równe:
v x = 2ωR ,
v y = 0.
ax = 0 ,
a y = − Rω 2 .
(c) Z równań ruchu (1) wynika, że współrzędna y ma wartość równą połowie wartości
maksymalnej (czyli y = R), gdy cos(ωt) = 0. Prędkość (2) i przyspieszenie (3) punktu są
wówczas odpowiednio równe:
v x = ωR ,
v y = −ωR .
a x = − Rω 2 ,
ay = 0 .
3.15.R.
Punkt A:
Prędkość w punkcie A jest sumą prędkości v0 z jaką porusza się środek obręczy oraz
prędkości stycznej do obręczy, wynikającej z jej ruchu obrotowego. W rozważanym
przypadku wartość prędkości stycznej jest równa v0.
v A = v0 + v0 = 2v0 .
Prędkość kątowa ω punktów znajdujących się na obręczy:
ω=
v0
.
R
Przyspieszenie punktu A jest przyspieszeniem dośrodkowym:
v02
a A = ad 0 = ω R = .
R
2
Przyspieszenie wszystkich punktów znajdujących się na obręczy jest takie samo.
Punkt B:
v A = v0 − v0 = 0,
v02
2
a B = ad 0 = ω R = .
R
Punkt C:
vC = v02 + v02 = v0 2 ,
v02
a B = ad 0 = ω R = .
R
2
3.16.R.
Przyspieszenie styczne w punkcie A jest sumą przyspieszeń a0 z jakim porusza się
środek obręczy oraz przyspieszenia stycznego, wynikającego z jej ruchu obrotowego.
Wartość przyspieszenia stycznego wynosi a0.
a A = a0 + a0 = 2 a0 .
Przyspieszenie kątowe ε punktów znajdujących się na obręczy:
ε=
a0
.
R
Przyspieszenie kątowe wszystkich punktów znajdujących się na obręczy jest takie samo.
Przyspieszenie dośrodkowe punktu A w danej chwili czasu t:
v02 (a0t ) 2
=
.
ad 0 = ω R =
R
R
2
Przyspieszenie dośrodkowe wszystkich punktów znajdujących się na obręczy jest takie samo.
Punkt B:
a A = a0 − a0 = 0,
a
ε= 0,
R
v02 (a0t ) 2
2
=
.
ad 0 = ω R =
R
R
Punkt C:
aC = a02 + a02 = a0 2 ,
a
ε= 0,
R
v02 (a0t ) 2
2
=
.
ad 0 = ω R =
R
R
3.17.R.
Punkt F:
Wypadkowa prędkość punktu F jest równa prędkości v, z którą przesuwa się punkt A:
vF = v ,
Prędkość v w punkcie F można rozłożyć na dwie składowe: prędkość v0, która jest prędkością
ruchu postępowego szpuli oraz prędkość v1 wynikającą z ruchu obrotowego szpuli wokół
punktu E:
v = v0 + v1 = ωR + ωr = ω ( R + r ) ,
skąd
ω=
v
.
R+r
Przyspieszenie dośrodkowe aF punktu F wynosi:
v2r
a F = ad 1 = ω r =
.
(R + r)2
2
Punkt E:
vE = v0 = ωR =
aE = 0.
Punkt D:
vR
,
R+r
vD = v0 − v0 = 0
v2 R
2
a D = ad 0 = ω R =
.
(R + r)2
Punkt B:
vB = v0 + v0 = 2v0 = 2ωR =
2vR
,
R+r
v2R
a B = ad 0 = ω R =
.
(R + r)2
2
Punkt C:
v
R2 + r 2 ,
R+r
2
vr
aC = ad 1 = ω 2 r =
.
(R + r )2
v C = v02 + v12 = (ωR) 2 + (ωr ) 2 =
3.18.R.
Wskazówka: W jednakowym czasie t droga (S0) środka O szpuli będzie większa o odcinek
AB od drogi (SB) punktów, które w rozważanej chwili znajdują się w punktach oznaczonych
literą B:
S 0 = S B + AB ,
S 0 = v0t ,
S B = ut .
gdzie:
Odpowiedź:
SB =
AB( R − r )
.
r
3.19.R. Wypadkowy wektor przyspieszenia aw jest sumą
wektorów przyspieszeń stycznego i dośrodkowego, a jego
wartość można zapisać jako:
2
(1) aw = ad2 + as2 .
Przyspieszenie styczne as:
(2) as = aw cos α ,
oraz
(3) as = εR ,
gdzie ε jest przyspieszeniem kątowym. Z (2) i (3):
(4) aw =
Przyspieszenie dośrodkowe ad:
εR
.
cos α
(5) ad = ω 2 R = ε 2t 2 R .
Podstawiając (3), (4) i (5) do (1) otrzymamy:
ε 2R2
= ε 4t 4 R 2 + ε 2 R 2 ,
2
cos α
skąd
ε=
1
t2
tgα
1
−1 = 2 .
t
cos 2 α
3.20.R. Odpowiedź:
aw = as 1 + 4π u .
3.21*.R. (a) Promień szpulki przy jej obrocie o kąt ϕ można opisać równaniem:
R = R0 ± a
ϕ
,
2π
gdzie znak + dotyczy nawijania a - odwijania się taśmy. Zatem długość taśmy nawiniętej po
obrocie szpulki o pewien kąt ϕ1:
ϕ1
s = ∫ ( R01 +
0
aϕ
a 2
)dϕ = R01ϕ1 +
ϕ1 .
2π
4π
Ponieważ szpulki obracają się ze stałą prędkością, to:
ϕ1 = ω1t ,
gdzie t oznacza czas, w ciągu którego szpulka obróciła się o kąt ϕ1. Wówczas długość taśmy s
wynosi:
s = R01ω1t +
(b) Prędkość przesuwu taśmy:
v=
a 2 2
ω1 t .
4π
a 2
ds
= R01ω1 +
ω1 t .
dt
2π
3.22.R.
Prędkość v kamienia w chwili czasu t jest wypadkową prędkości v0 w kierunku
poziomym i prędkości vy w kierunku pionowym. Jej wartość wynosi:
2
v = v02 + v y = v02 + g 2t 2 .
Przyspieszenie styczne:
vy
gt
g 2t
= 2
.
as = g cos α = g = g 2
v
v0 + g 2t 2
v0 + g 2t 2
Przyspieszenie dośrodkowe:
ad = g sin α = g
v0
gv
= 2 0 2 2.
v
v0 + g t
3.23.R. Jeżeli założymy, że lina łącząca narciarza i motorówkę jest cały czas napięta, to w
każdym memencie jedynie rzut chwilowej prędkości narciarza i łodzi na kierunek liny musi
być jednakowy. Wartość każdej z prędkości będzie zależała od kąta pomiędzy jej kierunkiem,
a kierunkiem liny.
3.24.R. Na zakręcie koła wewnętrzne pokonują mniejszą drogę niż zewnętrzne. Jeżeli koła
byłyby związane na sztywno, musiałby wystąpić poślizg jednego z kół. Mechanizm
różnicowy, który pozwala obracać się kołom samochodu z różną prędkością, zapobiega temu
poślizgowi. (Tramwaje starego typu nie posiadały mechanizmu różnicowego i na zakrętach
powodowały spory hałas).
3.25.R. Odpowiedź:
Maksymalna wartość prędkości: vmax=Aω, maksymalna wartość przyspieszenia: amax=Aω2.
3.26.R. Prędkość w ruchu jednostajnym:
s
v= ,
t
gdzie:
s = 2l - droga przebyta przez światło wysłane z powierzchni Ziemi i powracające po
odbiciu od zwierciadła umieszczonego w odległości l od źródła światła.
v = c - prędkość światła,
skąd:
l=
vt
= 390000km .
2
3.27.R. a) Średnia wartość prędkości:
∆s
v śr =
,
∆t
gdzie:
∆s = n ⋅ 2πr - całkowita droga przebyta przez konia,
∆t = t - czas ruchu konia.
Stąd:
2π t
v śr = n
= 2,51m / s.
t
b) Średni wektor prędkości:
r
r
∆r
v śr =
,
∆t
gdzie:
r
∆r - wektor przemieszczenia (zmiany położenia) konia,
∆t - czas ruchu konia.
r
Ponieważ koń, po okrążeniu areny, wrócił do punktu startu, więc ∆r = 0 i ostatecznie:
r
v śr = 0
3.28.R. Średnia prędkość:
∆s
v śr =
;
∆t
gdzie:
s s
∆s = + = s - całkowita droga przebyta przez samochód,
2 2
∆t = t1 + t 2 - całkowity czas ruchu samochodu, przy czym:
s
t1 =
- czas, w którym samochód przebył pierwszą połowę drogi z prędkością v1,
2v1
s
t2 =
- czas, w którym samochód przebył drugą połowę drogi z prędkością v2.
2v 2
Średnia prędkość samochodu jest więc równa:
2v1v 2
= 24m / s .
v śr =
v1 + v 2
Wniosek: Średnia prędkość samochodu nie jest, w tym przypadku, średnią arytmetyczną
prędkości v1 i v2 (25 m/s). Wynika to z faktu, że samochód jechał dłużej z mniejszą
prędkością v1, a więc prędkość ta silniej wpłynęła na jego prędkość średnią, niż większa
prędkość v2, z którą samochód jechał krócej.
3.29.R. Średnia prędkość:
∆s
v śr =
,
∆t
gdzie:
t t
+ = t - całkowity czas ruchu samochodu,
2 2
∆s = s1 + s 2 - całkowita droga przebyta przez samochód, przy czym:
t
s1 = v1 - droga przebyta przez samochód w pierwszej połowie czasu z prędkością v1,
2
t
s 2 = v 2 - droga przebyta przez samochód w drugiej połowie czasu z prędkością v2.
2
Średnia prędkość samochodu jest więc równa:
v + v2
v śr = 1
= 25m / s.
2
Wniosek: W tym przypadku średnia prędkość samochodu jest średnią arytmetyczną prędkości
v1 i v2, ponieważ czas ruchu samochodu z każdą z tych prędkości był taki sam. .
∆t =
3.30.R. Łódka przebyła dwa jednakowe odcinki drogi AB i BA z wypadkowymi
prędkościami:
vAB = v1 – v2 - ruch łódki w górę rzeki,
vBA = v1 + v2 - ruch łódki w dół rzeki.
Średnia wartość prędkości łódki na całym odcinku drogi (patrz rozwiązanie zadania 3.28.R.):
2
2
2v AB v BA
v − v2
m
= 1
= 4,2 .
v śr =
v AB + v BA
v1
s
3.31.R. Kinematyczne równania ruchu jednostajnie zmiennego mają postać:
v = v0 + at
oraz:
at 2
s = v0 t +
.
2
Pociąg zatrzyma się, gdy v = 0, skąd:
v
m
a = − 0 = −1,2 2 (ruch jednostajnie opóźniony)
t
s
oraz:
v t 2 v0 t
s = v0 t − 0
=
= 135m.
2
t 2
3.32.R. Kulka, odbijająca się bez straty energii od poziomej powierzchni, wznosi się na
wysokość h, równą wysokości, z jakiej została swobodnie puszczona:
2
gt h
,
h=
2
gdzie:
th – czas spadku kulki z wysokości h, równy czasowi wznoszenia się kulki na
wysokość h po jej odbiciu się od poziomej powierzchni, a więc równy połowie odstępu czasu
∆t , w którym kulka uderza o sprężystą powierzchnię:
∆t
th = ,
2
skąd otrzymamy:
g (∆t )
h=
= 1,25m.
8
2
3.33.R. Obliczmy prędkość względną ciała A względem ciała B.
Spadające swobodnie ciało A porusza się z prędkością vA opisaną równaniem:
vA = gt.
Ciało B zaczęło spadać o ∆t później, więc jego prędkość opisana jest równaniem:
v B = g (t − ∆t ).
Prędkość względna dwóch ciał, których zwroty prędkości są zgodne, równa jest różnicy ich prędkości, więc:
vw = vA – vB = g∆t.
ponieważ:
g = const. oraz ∆t = const.,
więc: vw = const.,
Prędkość względna ciała A względem ciała B jest wartością stałą, a więc ciała te poruszają się
względem siebie ruchem jednostajnym.
3.34.R. Droga przebyta przez ciało A (rzut pionowy do góry):
gt 2
s A = v0 t −
,
2
droga przebyta przez ciało B (swobodny spadek):
gt 2
sB =
.
2
Ciała spotkają się, gdy:
s A + sB = H ,
gdzie:
2
v
H = 0 - maksymalna wysokość w rzucie pionowym,
2g
a więc:
2
gt 2 gt 2 v0
+
=
.
v0 t −
2
2
2g
lub:
2
v
v0 t = o .
2g
Możemy stąd obliczyć czas, po którym spotkają się ciała:
v
t= 0
2g
oraz wysokość, na jakiej to nastąpi.
Będzie ona równa drodze sA przebytej przez ciało A w obliczonym poprzednio czasie:
2
2
2
2
v
v
3v
3 v0
3
= H.
h= 0 − o = 0 =
2 g 8g
8g
4 2g 4
3.35.R. Rzut ukośny jest ruchem złożonym z ruchów prostych o równaniach:
x = v0 t cos α
oraz
gt 2
2
Eliminując z tych równań czas t możemy znaleźć równanie toru ciała:
g
x2
y = x ⋅ tgα −
2
2
2v0 cos α
Podstawiając x = d , otrzymamy z tego równania wysokość y = h, na jakiej znajdzie się wtedy
struga wody:
g
h = d ⋅ tgα −
d2.
2
2
2v 0 cos α
Po wstawieniu wartości liczbowych, otrzymamy: h = - 30 m.
Znak minus oznacza, że woda trafia w ścianę poniżej poziomu wylotu strugi.
y = v0 t sin α −
3.36.R*. Ruchy obu fragmentów pocisku, po jego rozerwaniu się, są rzutami ukośnymi,
których wektory prędkości początkowej mają takie same wartości i kierunki, ale przeciwne
r
r r
r
zwroty: v01 = v0 , v02 = −v 0 .
Po rozłożeniu wektorów prędkości początkowej na składowe, otrzymamy:
v01x = v 0 cos α ,
v02 x = −v0 cos α ,
v01 y = v0 sin α ,
v02 y = −v 0 cos α .
Zmiany wektorów prędkości fragmentów pocisku w czasie ich ruchu opisane są równaniami:
r r
r
r
r
r
v1 = v0 + gt ,
v 2 = −v0 + gt ,
r
co, po rozłożeniu na składowe (uwzględniając zwrot wektora g ), prowadzi do związków:
v1x = v0 cos α ,
v 2 x = −v 0 cos α ,
v1 y = v0 sin α − gt ,
v 2 y = −v0 sin α − gt.
Iloczyn skalarny wektorów wzajemnie prostopadłych jest równy zeru, a więc wektory
prędkości obu fragmentów pocisku będą do siebie prostopadłe po spełnieniu warunku:
r r
v1 ⋅ v 2 = v1x v 2 x + v1 y v 2 y = 0,
czyli:
2
− v0 cos 2 α − (v0 sin α − gt )(v0 sin α + gt ) = 0,
co, po prostych przekształceniach, prowadzi do związku:
2
g 2 t 2 − v0 = 0,
a więc wektory prędkości obu fragmentów pocisku będą wzajemnie do siebie prostopadłe po
czasie:
v
t= 0
g
od rozerwania się pocisku.
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)