To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Ruch na płaszczyźnie Ruch w dwóch wymiarach będziemy opisywać w układzie współrzędnych x i y . Np. y - wysokość, x - odległość w kierunku poziomym. Pokażemy, że taki ruch można traktować jak dwa niezależne ruchy jednowymiarowe. Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie. Położenie punktu w chwili t przedstawia wektor r ; prędkość wektor v ; przyspieszenie wektor a . Wektory r , v , a są wzajemnie zależne od siebie i dadzą się przedstawić (za pomocą wersorów i , j , k czyli wektorów jednostkowych) w postaci y x y x y x a a t t t t y t x t y x j i j i a j i j i r j i r + = + = = + = + = = + = d d d d d d d d d d d d v v v v v v Przykładem na którym prześledzimy ruch krzywoliniowy ze stałym przyspieszeniem jest rzut ukośny. Rzut ukośny Rzut ukośny to ruch ze stałym przyspieszeniem g [0, - g ] skierowanym w dół. Jest opisywany przez równania podane powyżej w tabeli. Przyjmijmy, że początek układu współrzędnych pokrywa się z punktem, z którego wylatuje ciało tzn. r 0 = 0. Prędkość w chwili początkowej t = 0 jest równa v 0 i tworzy z kąt θ z dodatnim kierunkiem osi x . Zadaniem naszym jest: znaleźć prędkość i położenie ciała w dowolnej chwili, opisać tor, znaleźć zasięg. Składowe prędkości początkowej (zgodnie z rysunkiem) wynoszą odpowiednio vx 0 = v 0 cos θ i vy 0 = v 0 sin θ Prędkość w kierunku x (poziomym) vx = vx 0 + axt ponieważ ax = 0 więc: vx = v 0 cos θ, czyli w kierunku x ruch jest jednostajny (składowa x prędkości jest stała) W kierunku y (pionowym) vy = vy 0 + ayt ponieważ gy = - g więc vy = v 0 sin θ – gt Wartość wektora wypadkowego prędkości w dowolnej chwili wynosi 2 2 y x v v v + = więc θ v0 v0cos θ v0sin θ 2 2 0 2 0 sin 2 t g gt + − = θ v v v Teraz obliczamy położenie ciała x = v 0 xt czyli x = v 0 cos θ t y = v 0 yt +(1/2) ayt 2 czyli y = v 0 sin θ t – (1/2) gt 2 Długość wektora położenia r można teraz obliczyć dla dowolnej chwili t z zależności 2 2 y x r + = Sprawdźmy po jakim torze porusza się nasz obiekt tzn. znajdźmy równanie krzywej y ( x ). Mamy równania x ( t ) i y ( t ). Równanie y ( x ) obliczymy eliminując t z równań (3.2) i (3.3). Z równania (3.2) t = x / v 0 cos θ więc równanie (3.3) przyjmuje postać 2 2 0 ) cos ( 2 ) (tg x
(…)
… (3.2) i (3.3). Z równania (3.2)
t = x/v0 cosθ
więc równanie (3.3) przyjmuje postać
y = (tg θ ) x −
g
x2
2(v 0 cosθ ) 2
Otrzymaliśmy równanie paraboli (ramionami w dół).
Z równania paraboli obliczamy zasięg Z czyli znajdziemy miejsca zerowe. Do równania (3.3)
wstawiamy x = Z oraz y = 0 i otrzymujemy po przekształceniach dwa miejsca zerowe
Z=0
oraz
Z =
2
2v 0 sin θ cosθ
v2
= 0 sin 2θ
g
g
Z równania (3.4…
…. Punkt P - położenie punktu materialnego w chwili
t, a P' - położenie w chwili t + ∆t. Wektory v, v' mają jednakowe długości ale różnią się
kierunkiem; są styczne do toru (krzywej) odpowiednio w punktach P i P'.
Przerysujmy wektory v i v' zaznaczając zmianę prędkości ∆v. Zauważmy, że kąt pomiędzy
tymi wektorami jest taki sam jak kąt na pierwszym rysunku. Zaznaczone trójkąty są podobne więc :
∆v l
= , gdzie l jest długością łuku (pod warunkiem, że l bardzo małe (l→0)). Stąd
v
r
∆v = vl/r.
a ponieważ
l = v ∆t
więc
∆v = v2 ∆t/r
Ostatecznie
a = ∆v/∆t
więc
a=
v2
r
To przyspieszenie nazywamy przyspieszeniem normalnym (w odróżnieniu od stycznego) bo jest
prostopadłe do toru. W przypadku ruchu po okręgu kierunek prostopadły do toru jest skierowany do
środka i dlatego takie przyspieszenie nazywamy…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)