Ruch na płaszczyźnie - Rzut ukośny

Nasza ocena:

3
Pobrań: 42
Wyświetleń: 889
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Ruch na płaszczyźnie - Rzut ukośny - strona 1 Ruch na płaszczyźnie - Rzut ukośny - strona 2 Ruch na płaszczyźnie - Rzut ukośny - strona 3

Fragment notatki:

Ruch na płaszczyźnie Ruch w dwóch wymiarach będziemy opisywać w układzie współrzędnych  x  i  y . Np.  y  - wysokość,  x  - odległość w kierunku poziomym. Pokażemy, że taki ruch można traktować jak  dwa niezależne ruchy jednowymiarowe. Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie. Położenie  punktu w chwili  t  przedstawia wektor  r ;  prędkość  wektor  v ;  przyspieszenie  wektor  a .  Wektory  r ,  v ,  a  są wzajemnie zależne od siebie i dadzą się przedstawić (za pomocą  wersorów   i ,  j ,  k  czyli wektorów jednostkowych) w postaci y x y x y x a a t t t t y t x t y x j i j i a j i j i r j i r + = + = = + = + = = + = d d d d d d d d d d d d v v v v v v Przykładem na którym prześledzimy ruch krzywoliniowy ze stałym przyspieszeniem jest rzut  ukośny. Rzut ukośny Rzut ukośny to ruch ze stałym przyspieszeniem  g  [0, - g ] skierowanym w dół. Jest opisywany  przez równania podane powyżej w tabeli. Przyjmijmy, że początek układu współrzędnych pokrywa  się z punktem, z którego wylatuje ciało tzn.  r 0   = 0.  Prędkość w chwili początkowej  t  = 0 jest równa  v 0 i tworzy z kąt  θ z dodatnim kierunkiem osi  x .  Zadaniem naszym jest: znaleźć prędkość i położenie ciała w dowolnej chwili, opisać tor, znaleźć  zasięg. Składowe  prędkości początkowej  (zgodnie z rysunkiem) wynoszą odpowiednio vx 0 =  v 0 cos θ i vy 0 =  v 0 sin θ Prędkość  w kierunku x (poziomym) vx  =  vx 0 +  axt ponieważ  ax  = 0 więc:  vx  =  v 0 cos θ, czyli w kierunku  x   ruch jest  jednostajny  (składowa  x  prędkości jest stała) W kierunku  y  (pionowym) vy = vy 0  + ayt ponieważ  gy  = - g  więc vy = v 0 sin θ  – gt Wartość wektora wypadkowego prędkości w dowolnej chwili wynosi 2 2 y x v v v + = więc θ v0 v0cos θ v0sin θ 2 2 0 2 0 sin 2 t g gt + − = θ v v v Teraz obliczamy położenie ciała x = v 0 xt czyli    x = v 0 cos θ  t  y = v 0 yt +(1/2) ayt 2 czyli  y =  v 0 sin θ  t  – (1/2) gt 2  Długość wektora położenia  r  można teraz obliczyć dla dowolnej  chwili  t  z zależności 2 2 y x r + = Sprawdźmy po jakim torze porusza się nasz obiekt tzn. znajdźmy  równanie krzywej  y ( x ). Mamy równania  x ( t ) i  y ( t ). Równanie  y ( x ) obliczymy eliminując  t  z  równań (3.2) i (3.3). Z równania (3.2) t  =  x / v 0 cos θ więc równanie (3.3) przyjmuje postać 2 2 0 ) cos ( 2 ) (tg x

(…)

… (3.2) i (3.3). Z równania (3.2)
t = x/v0 cosθ
więc równanie (3.3) przyjmuje postać
y = (tg θ ) x −
g
x2
2(v 0 cosθ ) 2
Otrzymaliśmy równanie paraboli (ramionami w dół).
Z równania paraboli obliczamy zasięg Z czyli znajdziemy miejsca zerowe. Do równania (3.3)
wstawiamy x = Z oraz y = 0 i otrzymujemy po przekształceniach dwa miejsca zerowe
Z=0
oraz
Z =
2
2v 0 sin θ cosθ
v2
= 0 sin 2θ
g
g
Z równania (3.4…
…. Punkt P - położenie punktu materialnego w chwili
t, a P' - położenie w chwili t + ∆t. Wektory v, v' mają jednakowe długości ale różnią się
kierunkiem; są styczne do toru (krzywej) odpowiednio w punktach P i P'.
Przerysujmy wektory v i v' zaznaczając zmianę prędkości ∆v. Zauważmy, że kąt pomiędzy
tymi wektorami jest taki sam jak kąt na pierwszym rysunku. Zaznaczone trójkąty są podobne więc :
∆v l
= , gdzie l jest długością łuku (pod warunkiem, że l bardzo małe (l→0)). Stąd
v
r
∆v = vl/r.
a ponieważ
l = v ∆t
więc
∆v = v2 ∆t/r
Ostatecznie
a = ∆v/∆t
więc
a=
v2
r
To przyspieszenie nazywamy przyspieszeniem normalnym (w odróżnieniu od stycznego) bo jest
prostopadłe do toru. W przypadku ruchu po okręgu kierunek prostopadły do toru jest skierowany do
środka i dlatego takie przyspieszenie nazywamy…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz