To tylko jedna z 8 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
2.3.1. Iloczyn skalarny Iloczynem skalarnym (skalarowym) dwóch wektorów a i b nazywamy skalar równy iloczynowi modułów obu wektorów przez kosinus kąta zawartego między nimi.· O a b α Rys. 2.8. Ilustracja do definicji iloczynu skalarnego Jeżeli kąt między wektorami oznaczymy przez α (rys. 2.8), a operację mnożenia skalarnego przez a·b , to otrzymamy: . cos α = ⋅ b a b a (2.11) Po uwzględnieniu we wzorze (2.11) zależności (2.2) iloczyn skalarny możemy przedstawić jako iloczyn rzutu jednego wektora na kierunek drugiego i modułu drugiego. ( ) ( ) ( ) ( ) a b ⋅ = = = = a b b a a Rz b bRz a a cos cos α α b . (2.12) Iloczyn skalarny jest równy zeru (poza przypadkami, gdy a = 0 lub b = 0), gdy cos = 0. Wynika stąd warunek prostopadłości (ortogonalności) dwóch wektorów: a b a b ⋅ = ⊥ 0, . gdy (2.13) Z faktu, że funkcja kosinus jest funkcją parzystą [cos α = cos(–α)], wynika, że do iloczynu skalarnego stosuje się prawo przemienności: . a b b a ⋅ = ⋅ Iloczyn skalarny podlega również prawu rozdzielności mnożenia skalarnego względem dodawania: ( ) a b c a b a c ⋅ + = ⋅ + ⋅ . Dowód tej własności wynika bezpośrednio z przytoczonego w poprzednim punkcie twierdzenia Charles’a oraz z zależności (2.2): ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) . c a b a c b c b c b c b a ⋅ + ⋅ = + = = + = + = + ⋅ a a a a a Rz a Rz a Rz Rz a Rz a Jeżeli pomnożymy równanie (2.11) przez dowolny skalar k, to otrzymamy prawo łączności mnożenia iloczynu skalarnego przez skalar: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). k k cos b k a = cos b a k k b a b a b a ⋅ = ⋅ = α α = ⋅ Wektor pomnożony skalarnie przez siebie jest równy kwadratowi modułu: a a ⋅ = a a cos0 = a . 2 (2.14) Z podanych wyżej rozważań wynika, że iloczyn skalarny – poza wzorem (2.13) – ma takie same własności jak iloczyn algebraiczny liczb. Gdy mamy dowolny wektor a oraz oś l określoną przez wektor jednostkowy e l (rys. 2.3), to na podstawie równania (2.12) rzut tego wektora na oś l wyraża wzór: ( ). Rz = cos a l l a e a α = ⋅ (2.15) Z zależności tej będziemy często korzystać przy obliczaniu współrzędnych wektora
(…)
… a i b nazywamy wektor c
prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez te wektory, którego moduł jest równy
iloczynowi modułów tych wektorów pomnożonemu przez sinus kąta zawartego
między nimi (rys. 2.9)
c = a× b, ⎫
⎬
c = a bsinα.⎭
(2.21)
c=axb
b
α
O
a
−c = b x a
Rys. 2.9. Ilustracja iloczynu wektorowego
Zwrot wektora c jest tak dobrany, że wektory a, b, c tworzą układ
prawoskrętny, czyli zwrot wektora c…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)