To tylko jedna z 7 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
METODY OBLICZANIA GRANIC FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH I. Obliczanie granic przy wykorzystaniu definicji Heinego granicy funkcji. Definicja (Heinego) Niech ( X , d ) – przestrzeń metryczna Y – przestrzeń topologiczna Y g Y X f , : – element przestrzeni topologicznej f D P ' 0 ( 0 P jest punktem skupienia dziedziny funkcji f ) Granicą funkcji f w punkcie 0 P jest element g, g P f P P ) ( lim 0 , wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek ) ) ( lim lim ( : , ) ( 0 0 g P f P P P P D P n n n n n f n n N Interpretacja geometryczna f o D P f ' : 2 R R N n n P - dowolny ciąg, którego wyrazy dążą do 0 P i 0 P P n N n n P f - ciąg wartości funkcji f obliczonych w punktach ... , , 2 1 P P y z x N n n P N n n P ' 0 P N n n P f N n n P f ' z x g ) , ( y x f z f D Zamiast rozważać ciągi punktów, rozważmy pewne krzywe (drogi) do których mogą należeć te punkty. Uwaga 1) Jeśli dla każdej drogi (krzywej) istnieje granica i jest zawsze ta sama, to funkcja posiada granicę podwójną. 2) Jeśli dla dwóch różnych dróg otrzymamy różne granice, to funkcja nie posiada granicy podwójnej. 1 Przykład Obliczyć granicę y x x y x ) 0 , 0 ( ) , ( lim Założenie: x y Rozważmy dwie drogi. 1) 0 i 0 , 0 ) 0 , 0 ( ) , ( const x x y y x y , tzn. wybieramy drogę 1) wtedy 1 1 lim lim 0 0 x x x x 2) 0 i 0 , 0 ) 0 , 0 ( ) , ( const y y x y x x , tzn. wybieramy drogę 2) wtedy 0 0 lim 0 lim 0 0 0 y y y y Wniosek: dla dwóch różnych dróg granice są różne y x x y x ) 0 , 0 ( ) , ( lim ~ . Uwaga Nie ma odpowiednika reguły de L'Hospitala dla funkcji wielu zmiennych. 2 1) ← (wyrzucamy prostą y = - x ) 2) x y II. Obliczanie granicy podwójnej z wykorzystaniem współrzędnych biegunowych Do obliczenia granicy ) , (
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)