Granice funkcji wielu zmiennych - metody obliczania

Nasza ocena:

5
Pobrań: 91
Wyświetleń: 1120
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Granice funkcji wielu zmiennych - metody obliczania - strona 1 Granice funkcji wielu zmiennych - metody obliczania - strona 2 Granice funkcji wielu zmiennych - metody obliczania - strona 3

Fragment notatki:

METODY OBLICZANIA GRANIC FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH I. Obliczanie granic przy wykorzystaniu definicji Heinego granicy funkcji.  Definicja (Heinego) Niech ( X , d ) – przestrzeń metryczna Y  – przestrzeń topologiczna       Y g Y X f   , :  – element przestrzeni topologicznej       f D P  ' 0    ( 0 P   jest punktem skupienia dziedziny funkcji  f  ) Granicą  funkcji  f  w punkcie  0 P   jest element  g,   g P f P P   ) ( lim 0 , wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek   ) ) ( lim lim ( : , ) ( 0 0 g P f P P P P D P n n n n n f n n            N Interpretacja geometryczna f o D P f ' : 2    R R   N  n n P  - dowolny ciąg, którego wyrazy dążą do  0 P   i  0 P P n          N  n n P f  - ciąg wartości funkcji  f  obliczonych w punktach  ...  ,  , 2 1  P P y z x   N  n n P   N  n n P ' 0 P    N  n n P f    N  n n P f ' z x g ) , (  y x f z  f D Zamiast rozważać ciągi punktów, rozważmy pewne krzywe (drogi) do których mogą należeć te punkty. Uwaga 1)   Jeśli dla każdej drogi (krzywej) istnieje granica i jest zawsze ta       sama, to funkcja posiada granicę podwójną. 2) Jeśli dla dwóch różnych dróg otrzymamy różne granice, to funkcja       nie posiada granicy podwójnej. 1 Przykład   Obliczyć granicę  y x x y x   ) 0 , 0 ( ) , ( lim Założenie:  x y   Rozważmy dwie drogi. 1)      0 i 0 , 0 ) 0 , 0 ( ) , ( const          x x y y x y , tzn. wybieramy drogę 1) wtedy       1 1 lim lim 0 0     x x x x            2)     0 i 0 , 0 ) 0 , 0 ( ) , ( const          y y x y x x , tzn. wybieramy drogę 2) wtedy       0 0 lim 0 lim 0 0 0      y y y y Wniosek: dla dwóch różnych dróg granice są różne   y x x y x     ) 0 , 0 ( ) , ( lim ~   . Uwaga Nie ma odpowiednika reguły de L'Hospitala dla funkcji wielu zmiennych. 2 1) ←  (wyrzucamy prostą   y = - x ) 2) x y II. Obliczanie granicy podwójnej z wykorzystaniem współrzędnych biegunowych Do obliczenia granicy  ) , ( ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz