Funkcje, pochodne - zestaw zadań nr 2

Zestaw zada ń  z analizy matematycznej dla  IM 7. Funkcje (pochodne funkcji, cz. II)    1. Obliczy ć   f f f ′ ′ ′ ′ ′ ′ , ,  podanych funkcji a)  ( ) x x x f ln = ;    b)  ( ) ( ) x x x x f cos 1 2 + + = ;    c)  ( ) x e x f cos = ;    d)  ( ) 1 2 + = x x f ;  e)  ( ) x x x f 2 3 − = ;  f)  ( ) x x x f 3 3 cos sin + = . 2. Zbada ć , czy istnieje  ( ) ( ) 0 x f n  dla podanych funkcji i punktów a)  ( ) 3 , 0 , 0 3 = = = n x x x f ;    b)  ( ) 3 , 0 , 0 dla , sin 0 dla , 0 4 4 = =    ≤ = n x x x x x x f ;    c)  ( ) 2 , 0 , 0 dla , 0 dla , 0 3 2 = =    ≥ ≤ − = n x x x x e x f x .    3. Funkcja  f  ma pochodne do trzeciego rz ę du wł ą cznie. Obliczy ć   y y y ′ ′ ′ ′ ′ ′ , ,  dla podanych  funkcji   a)  ( ) 2 x f y  = ;    b)  ( ) x e f y  = ;  c)        = x f y 1 ;  d)  ( ) x f y ln = .  4. Znale źć  wzory ogólne na pochodn ą  n-tego rz ę du podanych funkcji  a)  ( ) 3 x e x f − = ;    b)  ( ) x x f − = 2 ;    c)  ( ) x e x x f = ;  d)  ( ) 1 2 2 − = x x f .   5.  Na wykresie funkcji  x e y  =  znaleźć punkt, który jest położony najbliżej prostej  4 − =  ex y .  6.  Punkt materialny porusza się po prostej  2 3 = y  w kierunku osi  Oy . Wyznaczyć tor tego punktu po  odbiciu  sprężystym  (kąt  padania  równa  się  kątowi  odbicia)  od  łuku  paraboli  o  równaniu  2 2 2 x y − = , gdzie  0 ≥ x .  7.   Punkt  materialny  porusza  się  po  krzywej  x y 2 =   w  ten  sposób,  że jego  rzut  na  oś   Ox   ma  stałą  prędkość  3 = x v . Z jaką prędkością (w kierunku osi  Oy ) porusza się ten punkt w chwili, gdy jest  na wysokości 4?  ... zobacz całą notatkę