86. DEF. GRANICY FUNKCJI:
- otoczenie punktu w przestrzeni metrycznej i niech y będzie przestrzenią metryczną.
Element g Y nazywamy granicą funkcji f:-{ }Y w punkcie , gdy:
TW. O JEDNOZNACZNOśCI GRANICY:
Jeśli elementy g' i g'' są granicami funkcji f(), to g'=g''
Załóżmy, że g'g'' istnieje taka odległość (g',g'')0
=0.5g(g',g'')
sprzeczność
Def . granicy wg Cauchy'ego:
Def. granicy wg Heinego:
Ciągłość funkcji:
Funkcję : nazywamy ciągłą w punkcie iff posiada granicę g w tym punkcie i g=f()
wg Cauchy'ego
wg Heinego: Def. granicy:
(1) lewostronnej: Funkcja f ma granicę lewostronną w p. g, jeśli:
(2) prawostronnej:
(3) niewłaściwej w +∝ w p.,jeśli:
(4) niewłaściwą w -∝ w p., jeśli:
NIECIĄGŁOŚĆ FUNKCJI:
Niech funkcja f będzie określona i ograniczona w pewnym otoczeniu (-a, +a), a0 punktu i niech będzie nieciągła w tym punkcie. Mówimy, że:
(1) funkcja f ma w nieciągłość pierwszego rodzaju, o ile ma granicę jednostronną f(x) lub ; przy tym jeśli f(x) ma granicę f(x), to nieciągłość w punkcie nazywamy usuwalną, a jeśli nie ma tej granicy, to nieciągłość tę nazywamy nieusuwalną.
(2) nieciągłość drugiego rodzaju, o ile nie istnieje choćby jedna z granic jednostronnych. TW. O WŁASNOŚCI DARBOUX:
Jeżeli funkcja jest ciągła w przedziale I, gdzie , I i przyjmuje dwie różne wartości ,; przyjmuje wszystkie wartości pośrednie pomiędzy Istnieje takie, że f()= i Symbole O-duże i o-małe f(n)=o(g(n)), tzn. rzędu mniejszego od g(n)
f(n)=Og(n), tzn. f(n) jest rzędowo nie większe od g(n)
, f(n) i g(n) są rzędowo takie same
TW. O TRZECH CIĄGACH:
Jeżeli ciągi () i () są zbieżne do tej samej granicy g i jeśli () jest ciągiem, którego prawie wszystkie wyrazy spełniają nierówność podwójną , to także ciąg jest zbieżny, a jego granica jest równa g. 87. POCHODNA FUNKCJI W PUNKCIE:
Jeżeli istnieje granica ilorazu różnicowego, to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie .
Jeśli funkcja f ma pochodną w punkcie , to styczną do krzywej y=f(x) w punkcie nazywamy prostą przechodzącą przez punkt (,f()) o współczynniku kierunkowym f'(), natomiast normalną nazywamy prostą przechodzącą przez (,f()) i prostopadłą od stycznej. styczna: y=f'(x)(x-)+f()
normalna: y = TW. O RÓŻNICZKOWALNOSCI FUNKCJI:
Niech f będzie określone w pewnym otoczeniu p. o wartościach rzeczywistych lub zespolonych, f jest różniczkowalna w p. istnieje taka liczba a, że f(+h)=f()+h*a+h*(;h) dla dostatecznie małych h gdzie (;h) jest funkcją taką, że ;
(…)
… = f'()*dx df(x)= f'(x)dx f'(x)=
f(x+x) = f(x)+f'(x)*x f'(x)0
dx - błąd bezwzględny zmiennej x
dy - błąd bezwzględny zmiennej y
x - błąd max. zmiennej x
y - błąd max. zmiennej y
*y - błąd względny max. wartości funkcji f(x)
*y = DEFINICJA CAŁKI NIEOZNACZONEJ:
Całką nieoznaczoną albo funkcją pierwotną z funkcji f w przedziale (a,b) nazywamy taką funkcję F różniczkowalna w (a,b), że F'(x)=f(x) axb…
… rzeczywisych, ma pochodną n-tego rzędu w p. , to dla (n)<S zachodzi równość
Szereg McLaurena 92. Punkt przegięcia, war. dostateczny i konieczny istnienia, wypukłość i wklęsłość funkcji.
Niech f ma pochodną w pukcie , jeżeli istnieje *>0, że f(x)-f()-f'()*(x-)0 dla 0<x-<*
i f(x)-f()-f()*(x-)0 dla 0<x-<*
WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA PUNKTÓW PRZEGIĘCIA:
Jeżeli funkcja ma pochodną f”(x) w punkcie i jest punktem przegięcia f, to f”() =0.
WARUNEK DOSTATECZNY ISTNIENIA PUNKTÓW PRZEGIĘCIA:
Niech funkcja f ma n-tą pochodną w punkcie, niech f”() = ... = () = 0 i ()0
(a) Jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to funkcja ma punkt przegięcia w punkcie , jeżeli:
(1) ()>0, to funkcja przegina się z pod stycznej nad styczną
(2) ()<0, to funkcja przegina się z nad stycznej pod styczną
(b) Jeżeli n jest liczbą parzystą brak punktów…
… otoczeniu punktu i niech f posiada w otoczeniu p. pochodną f'()0, wtedy funkcja odwrotna posiada pochodną w punkcie równą f() i ()()=
88. Ekstremum lokalne funkcji, warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego, tw. Rolla, tw. Lagrange'a, tw. Cauchy'ego, warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego przy pomocy pierwszej pochodnej.
TW. O EKSTREMUM LOKALNYM FUNKCJI:
Niech funkcja f o wartościach…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)