Funkcje dwóch zmiennych — ciągłość i pochodne cząstkowe

Analiza Matematyczna / Równania Różniczkowe Informatyka Funkcje dwóch zmiennych — ciągłość i pochodne cząstkowe 1. ciągłość a) f (x, y) = x4 − y4 b) f (x, y) = sin(xy) y y = 0 0 y = 0 c) f (x, y) = xy3 x2+y2 (x, y) = (0, 0) 0 (x, y) = (0, 0) d) f (x, y) = x3−y3 x−y x = y 3x2 x = y e) f (x, y) = x4−y4 x3−y3 x = y 3 4 y x = y f) f (x, y) =      x2+y2−9 ln(x2+y2−9) 10  x2 + y2  9 x2 + y2 − 3 9 ≥ x2 + y2 ≥ 4 ln(4 − x2 − y2) 4  x2 + y2 g) f (x, y) =                sin(x2y) x x  0 ∧ y  0 xy x ≤ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x = y tg(x2y2) (xy)2 x  0 x x2+y2 x  0 ∧ y ≤ 0 0 (x, y) = (0, 0) 2. pochodne cząstkowe I rzędu a) f (x, y) = x3y − 2x7y3 − x + 2y b) f (x, y) = ln(xy2 − 2x + y3) c) f (x, y) = 1 ln(xy) d) f (x, y) = arctg x y2 e) f (x, y) = cos(y sin x) f) f (x, y) = xy 2 x3+y g) f (x, y) = 1 √ x2+y2 h) f (x, y) = ex sin y i) f (x, y) = x ln(y) j) f (x, y) = arc sin xy x+y k) f (x, y) = (x2 + y2)xy l) f (x, y) = xy 3. pochodne cząstkowe wyższych rzędów a) ∂ 2f ∂x2 , ∂2f ∂y2 , ∂2f ∂x∂y , ∂2f ∂y∂x ∂3f ∂x3 , ∂3f ∂y3 , ∂3f ∂x2∂y f (x, y) = x3y − 2x7y3 − x + 2y b) ∂ 2f ∂x2 , ∂2f ∂y2 , ∂2f ∂x∂y , ∂2f ∂y∂x ∂3f ∂x3 , ∂3f ∂y3 , ∂3f ∂x∂y2 f (x, y) = ln(x2 + y2) c) ∂ 2f ∂x2 , ∂2f ∂y2 , ∂2f ∂x∂y , ∂2f ∂y∂x ∂3f ∂x3 , ∂3f ∂y3 , ∂3f ∂y∂x∂y f (x, y) = sin(x2 + y3) d) ∂ 2f ∂x2 , ∂2f ∂y2 , ∂2f ∂x∂y , ∂2f ∂y∂x f (x, y) = cos(y sin x) e) ∂ 2f ∂x2 , ∂2f ∂y2 , ∂2f ∂x∂y , ∂2f ∂y∂x , ∂3f ∂x∂y∂x f (x, y) = arctg(xy) f) ∂ 2f ∂x2 , ∂2f ∂y2 , ∂2f ∂x∂y , ∂2f ∂y∂x , ∂3f ∂x3 f (x, y) = x sin(xy) g) ∂ 2f

(…)

…
∂y
d) f (1, 1) = −5,
−4
φ(t) = f (t2 − t − 1, 2t4 − t2 )
φ (−1) =?
e) f (3, π ) = 2, ∂f (3, π ) = 4, ∂f (3, π ) = −7
4
∂x
4
∂y
4
φ(t) = f (3t2 + ln t, arctgt)
φ (1) =?
mgr Joanna Meissner – AGH – 2009/2010
Analiza Matematyczna / Równania Różniczkowe
Informatyka
Funkcje dwóch zmiennych — ciągłość i pochodne cząstkowe
1. ciągłość
 sin(x2 y)
a) f (x, y) = x4 − y 4  x
 x>0∧y >0


xy
 x≤0∧y ≥0∧x=y…
... zobacz całą notatkę