To tylko jedna z 30 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ CAŁKI NIEOZNACZONE • Definicja funkcji pierwotnej: Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F’(x)=f(x), dla każdego x∈ I. Przykłady funkcji pierwotnych: a) f(x)=sinx b) 2 1 1 ) ( x x g − = F1(x)=-cosx G1(x)=arcsinx F2(x)=π-cosx G2(x)=arcsinx+arcsinx F3(x)=-cosx+5 G3(x)=-arccosx-1 F4(x)=-cosx+arcsinx, arcsinx∈ arcsinx • Twierdzenie o funkcjach pierwotnych: Niech F będzie funkcją pierwotną f na przedziale I. Wówczas: 1) G(x)=F(x)+c0, gdzie c∈ R, jest funkcją pierwotną funkcji f na I. 2) każdą funkcję pierwotną funkcji f na I można przedstawić w postaci F(x)=c1, gdzie c1 ∈ R. • Definicja całki nieoznaczonej: Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I. Całką nieoznaczoną, ozn. ∫ dx x f ) ( , funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór funkcji {F(x)+c:c∈ R}, gdzie: f(x) nazywamy funkcją podcałkową c nazywamy stałą całkowania WNIOSEK: Zachodzi wzór: ∫ dx x f ) ( =F(x)+c gdzie: F(x) jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji f(x) na rozważanym przedziale, c jest dowolną stałą Przykład: ∫ ∫ + − = + = − + − = 2 1 2 arccos arcsin 1 1 cos sin c x c x dx x c x xdx Interpretacja geometryczna: F(x)+c2 F(x)+c1 F(x) ∫ dx x f ) ( =F(x)+c F(x)+c3 całka nieoznaczona F(x)+c4 FAKT: Pochodna całki nieoznaczonej: Niech funkcja f ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy dla każdego x∈ I zachodzi wzór: [ ] ) ( ' ) ( x f dx x f = ∫ FAKT: Całka nieoznaczona pochodnej: Niech funkcja f’ ma funkcję pierwotną na przedziale I. Wtedy dla każdego x∈ I zachodzi wzór: c x f dx x f + = ∫ ) ( ) ( ' gdzie c∈ R. • Twierdzenie o całkowalności w sensie Newtona: Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła na przedziale I, to jest całkowalna w sensie Newtona na tym przedziale. • CAŁKI Z FUNKCJI ELEMENTARNYCH ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ + − = + = + + = ≠ + = = ⋅ + ⋅ + = + − ≠ + ⋅ + = + = = − + + + C arcctgx C arctgx x dx x C x C x x dx C k k x C tgx dx x C k k x C ctgx dx x C x
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)