Wykład - szeregi fouriera

Nasza ocena:

3
Pobrań: 35
Wyświetleń: 721
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Wykład - szeregi fouriera - strona 1 Wykład - szeregi fouriera - strona 2 Wykład - szeregi fouriera - strona 3

Fragment notatki:

Twierdzenie:
Załóżmy, że f (t) określona na R, ograniczona, okresowa o okresie 2T spełnia warunki
Dirichleta tzn.
(1) przedział [−T, T ] można podzielić na skończoną ilość przedziałów takich, że f (t)
jest ciągła i monotoniczna na wnętrzu każdego z nich;
(2) dla każdego t mamy
f (t−) + f (t+)
,
2
gdzie granice f (t±) = lim f (x) są właściwe.
f (t) =
x→t±
Wtedy dla każdego t mamy

a0
nπt
nπt
f (t) =
+
an cos
+ bn sin
2
T
T
n=1
gdzie po prawej stronie równości znajduje się szereg Fouriera funkcji f .
Uwaga.
• Warunek (2) jest spełniony w każdym punkcie ciągłości funkcji f . W punktach nieciągłości oznacza on, że zakładamy występowanie jedynie nieciągłości pierwszego
rodzaju i że jako wartość funkcji w takim punkcie przyjmujemy średnią arytmetyczną granic jednostronnych.
• Teza twierdzenia zachodzi także, gdy przyjmiemy inne założenia o funkcji f , np.
zamiast (1) założyc można, że f jest kawałkami klasy C 1 (ciągła lub nieciągła).
2
Zespolony szereg Fouriera:
Inna postać szeregu Fouriera to

πt
cn ein T ,
f (t) =
n=−∞
gdzie
1
cn =
2T
T
πt
f (t)e−in T dt.
−T
(Symbol eix oznacza liczbę zespoloną cos x + i sin x w tzw. postaci wykładniczej.)
Zauważmy, że c0 =
an − ibn
an + ibn
a0
, cn =
oraz c−n =
dla n
2
2
2
1.
Interpretacja:
t - czas
f (t) - sygnał okresowy
(cn ) - widmo sygnału f
nπt
nπt
, sin
to funkcje okresowe o okresie 2T . Mają ν =
n
T
T
w odcinku [0, 1], czyli częstotliwość ν Hz (ν okresów na sekundę).
cos
3
n
2T
okresów
Przykład 1:
Sygnał o przebiegu prostokątnym, okresowy o okresie 2T :



1 dla 0 ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz