FALE SPRòYSTE (MECHANICZNE)
Fala
Przenoszenie si zaburzenia w oÑrodku, proces
rozchodzenia si drga½ w oÑrodku.
Fale spróyste
Fale rozchodzce si w oÑrodkach spróystych.
Powstaj w wyniku chwilowego wychylenia
(zaburzenia) jakiegoÑ elementu oÑrodka z po»oóenia
równowagi, co nastpnie powoduje jego drgania.
Zaburzenie to wymusza drgania ssiednich
elementów oÑrodka.
Fale mechaniczne przenosz energi - w postaci energii potencjalnej (energia
odkszta»cenia oÑrodka) i energii kinetycznej (energia ruchu materii).
Klasyfikacja fal (moóliwa na wiele sposobów)
a) ze wzgldu na kierunek ruchu czstek oÑrodka
- poprzeczne - kierunek odkszta»cenia jest prostopad»y do kierunku
rozchodzenia si fali,
- pod»uóne kierunek odkszta»cenia jest równoleg»y do kierunku
rozchodzenia si fali,
b) ze wzgldu na rodzaj zaburzenia
- impuls falowy
- powstaje, gdy ïród»em fali jest jednorazowe
zaburzenie,
- fala harmoniczna - jest wytwarzana przez ïród»o wykonujce
drgania harmoniczne; w fali harmonicznej
wszystkie punkty oÑrodka wykonuj drgania
harmoniczne z róónymi fazami.
c) ze wzgldu na kszta»t czo»a fali (powierzchni jednakowej fazy)
- p»askie,
- koliste,
- kuliste.
Fale spróyste 1
Podstawowa w»asnoÑ rozchodzenia si zaburzenia falowego
Za»óómy, óe dla
,
Dla
s -
wychylen ie czs t k i z p o» oóe n ia
równowagi,
- pewna funkcja czasu
zaburzenie jest opóïnione o
punkcie
w chwili wczeÑniejszej o
i odpowiada zaburzeniu w
, czyli
Równanie fali - wyraóenie przedstawiajce wychylenie drgajcej czstki
w funkcji jej wspó»rzdnych x, y, z i czasu t
Ogólna posta równania fali w jednym wymiarze
W przypadku fali harmonicznej
Faza fali
- prdkoÑ fazowa - prdkoÑ poruszania si sta»ej fazy
Fale spróyste 2
Równanie fali p»askiej
Fala p»aska -
moóe by opisana tylko jedn sk»adow wektora prdkoÑci,
np.
i jedn wspó»rzdn przestrzenn, np. x
D»ugoÑ fali - najmniejsza odleg»oÑ punktów oÑrodka, dla których
nastpstwo ruchów jest identyczne
JeÑli
, to
Y
Y
Y
Fale spróyste 3
Wektor falowy
Jest to wektor okreÑlony wyraóeniem
, gdzie
jest wektorem jednostkowym zgodnym z
kierunkiem rozchodzenia si fali.
Y
k - modu» wektora falowego (liczba falowa)
Równanie fali p»askiej rozchodzcej si w dowolnym kierunku
Równanie fali p»askiej rozchodzcej si w kierunku zgodnym z kierunkiem
wektora falowego
moóna zapisa jako
Jeóeli
opisuje po»oóenie na pewnej
p»aszczyïnie P odleg»ej o
od pocztku
uk»adu wspó»rzdnych, to wtedy
, czyli
na tej p»aszczyïnie dla danego t otrzymujemy
sta» faz
.
Równanie
jest wic równaniem fali p»askiej.
Fale spróyste 4
Równanie falowe
Weïmy równanie dowolnego zaburzenia o charakterze periodycznym, lub
nawet nieperiodycznym (np. pojedynczy impuls)
,
Y
,
równanie falowe (jednowymiarowe), równanie
róóniczkowe ruchu falowego.
W kartezja½skim uk»adzie wspó»rzdnych w trzech wymiarach
Operator Laplace’a (laplasjan)
równanie falowe w przestrzeni trójwymiarowej
Jest to równanie róóniczkowe liniowe. Dopuszcza ono moóliwoÑ
superpozycji: jeÑli
s rozwizaniami tego równania, to równieó
jest rozwizaniem równania falowego.
Fale spróyste 5
PrdkoÑ fal spróystych w ciele sta»ym
odkszta»cenie
napróenie
Za»oóenie:
Fale pod»uóne 6 n a p r ó e n i e j e s t
normalne do czo»a fali.
E - modu» Younga
Prawo Hooke’a
,
wsp. spróystoÑci warstwy
Równanie ruchu warstwy o gruboÑci
- si»a dzia»ajca na mas
- gstoÑ oÑrodka nieodkszta»conego
Fale spróyste 6
Dla ma»ych
ogólnie moóna napisa
Std
Równanie ruchu
6
równanie ruchu czstek oÑrodka jest wic
równaniem falowym, w którym
.
prdkoÑ fazowa fal pod»uónych w ciele sta»ym
Moóna pokaza, óe dla fal poprzecznych
-
modu»
sztywnoÑci (modu» spróystoÑci
poprzecznej)
Fale spróyste 7
GstoÑ energii fali
gstoÑ energii kinetycznej
gstoÑ energii potencjalnej
GstoÑ energii kinetycznej fali pod»uónej
prdkoÑ ruchu czstek oÑrodka
Dla p»askiej fali harmonicznej o równaniu
GstoÑ energii potencjalnej fali pod»uónej
Fale spróyste 8
Std dla p»askiej fali harmonicznej o równaniu
Dla fali p»askiej
, a zatem gstoÑ energii ca»kowitej
Ðrednia gstoÑ energii ruchu falowego
Dla p»askiej fali harmonicznej
Fale spróyste 9
Wektor gstoÑci strumienia energii fali (wektor Poyntinga-Umowa)
Jest to wektor o kierunku zgodnym z kierunkiem rozchodzenia si fali i o
d»ugoÑci równej iloÑci energii ca»kowitej przenoszonej przez fal przez
jednostkow powierzchni prostopad» do kierunku rozchodzenia si fali w
jednostce czasu.
Dla p»askiej fali harmonicznej
6
6
Strumie½ energii fali
Fale spróyste 10
Natóenie fali
Jest to Ñrednia iloÑ energii ca»kowitej przenoszonej przez fal przez
jednostkow powierzchni prostopad» do kierunku rozchodzenia si fali w
jednostce czasu.
Dla fali biegncej o jednej czstoÑci
Fala stojca a fala biegnca
Fala stojca powstaje w wyniku na»oóenia si dwóch cigów falowych o
jednakowych czstoÑciach, jednakowych amplitudach, ale biegncych w
przeciwnych kierunkach.
,
Fale spróyste 11
Równanie fali emitowanej przez ïród»o punktowe
Jest to fala kolista (cylindryczna) lub fala kulista
r
odleg»oÑ od ïród»a,
moc ïród»a,
boczna powierzchnia walca (fala kolista) albo powierzchnia
kuli (fala kulista), o promieniu r, w centrum których
znajduje si ïród»o.
Y
Dla fali kolistej (cylindrycznej w warstwie o ma»ej gruboÑci h)
Y
,
Y
,
Dla fali kulistej
Fale spróyste 12
Dyspersja fal
OÑrodek jest dyspersyjny, jeóeli w tym oÑrodku
Wspó»czynnik dyspersji
dyspersja normalna
brak dyspersji
dyspersja anomalna
Konsekwencje dyspersji fal
Paczka falowa (grupa fal)
na»oóenie si fal niewiele róónicych si
czstoÑci midzy sob.
Fale spróyste 13
Paczka falowa porusza si z prdkoÑci inn nió prdkoÑ fazowa. Weïmy
pod uwag superpozycj dwóch fal biegncych w tym samym kierunku osi
x
Fala wypadkowa
Na podstawie metody wskazów
Fale spróyste 14
Amplituda w paczce falowej przyjmuje sta» wartoÑ dla pewnych wartoÑci
xg(t), dla których
PrdkoÑ grupowa
Zakres czstoÑci w paczce falowej jest ma»y, czyli
,
Zwizek prdkoÑci grupowej i fazowej
,
,
d - dyspersja oÑrodka
Fale spróyste 15
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)