Cała notatka składa się z 5 stron, na których poruszone zostały takie tematy jak: estymacja punktowa, estymacja przedziałowa, estymator, wartość estymatora, estymacja punktowa, własności estymatora, asymptotyczna nieobciążoność, efektywność estymatora, przedział ufności, poziom ufności
ESTYMACJA
I. Wstęp.
Przykład 0.
Niech zmienna losowa X oznacza wielkość eksportu danej firmy. Przypuśćmy, że powtarzając obserwacje otrzymano następujące realizacje zmiennej losowej X:
16,0 15,2 16,4 16,0 16,8 [mln USD]
Mając te liczby chcemy dowiedzieć się czegoś o wartości oczekiwanej (średniej) E(X). Oczywiście nie można odpowiedzieć z całą pewnością, ile naprawdę wynosi E(X). Musimy zadowolić się odpowiedziami mniej ścisłymi.
Opisane zadanie należy do zakresu tzw. estymacji (używa się też synonimów: oszacowanie i ocena).
W ogólniejszym sformułowaniu chodzi tu o estymację nieznanego parametru, który charakteryzuje rozkład pewnej zmiennej losowej.
Rozróżnia się estymację punktową i estymację za pomocą przedziału. W pierwszym przypadku wynikiem estymacji jest jedna liczba; w przykładzie rozpatrywanym przed chwilą byłaby to liczba 16,08, lub może 16,4, zależnie od przyjętego kryterium estymacji. W drugim przypadku wynik wyraża się w postaci przedziału; w rozpatrywanym przykładzie napisalibyśmy np. że 15,9 ≤ E(X) ≤ 16,3, dodając jeszcze pewien komentarz, który dotyczy ufności, jaką darzymy wyznaczanie końców przedziału.
II. Estymacja punktowa.
Rozpatrujemy zmienną losową X i interesujemy się parametrem Q (nieznana liczba stała) funkcji rozkładu. Pobiera się n - elementową próbkę i rejestruje wynik jej zbadania x1, x2, ..., xn. Tworzy się funkcję
u(x1, x2, ..., xn) (1)
tych wartości obserwowanych i uważa, że jest ona realizacją n - wymiarowej zmiennej losowej
U(X1, X2, ..., Xn). (2)
Statystyka próbki (2) nazywa się estymatorem, a wyrażenie (1) - wartością estymatora. Estymacją punktową parametru Q jest właśnie wyrażenie (1).
Wartość (1) zależy po pierwsze od przypadku, który dał takie a nie inne wartości x1, x2, ..., xn, a po drugie od wybory funkcji U. NA przykład do oszacowania wartości oczekiwanej (średniej) w populacji generalnej można używać między innymi takich estymatorów:
gdzie oznacza zmienną losową, której realizacjami są największe wartości w próbce n - elementowej; znaczenie jest analogiczne.
O wyborze takiego lub innego estymatora decydują jego własności. Szczególnie ważne są dwa kryteria. Oczekiwana wartość E(U) estymatora powinna być równa Q; taki estymator nazywa się nieobciążonym. Wariancja D2(U) estymatora powinna być mała; im jest mniejsza, tym estymator ma większą efektywność. Nie jest łatwo znaleźć funkcję, która spełniałaby kryterium nieobciążenia, wysokiej efektywności i ponadto prostoty.
Poszukiwanie estymatorów nieobciążonych nie jest trudne. Jako przykład zauważmy, że przy dowolnym rozkładzie w populacji macierzystej posiadającej wartość oczekiwaną E(X) = m wartość oczekiwana średniej w prostej próbce losowej
(…)
… i mającego dużą efektywność, i jeśli liczność próbki była duża, to Q0 mało różni się od Q. Nasuwa się jednak pytanie, jaka jest dokładność tej estymacji?
Współczesna statystyka matematyczna potrafi budować takie przedziały w różny sposób. Tu będzie mowa jedynie o tzw. przedziale ufności, którego koncepcję wprowadził w 1933 r. J. Neyman.
Niech więc Q oznacza stały, ale nieznany parametr rozkładu zmiennej…
…, że z obserwacji otrzymano , oraz S = 30.
Z tablicy rozkładu Studenta odczytujemy, że dla α = 0,05 oraz 9 stopni swobody tα, n - 1=2,262. kresami poszukiwanego przedziału ufności są
Otrzymaliśmy oszacowania szersze niż w przykładzie 1 ; jest to zrozumiałym skutkiem uboższej informacji co do odchylenia średniego.
Przykład 4.
Wydajność świetlna żarówek jest N(m, σ), gdzie m i σ są stałe, lecz nieznane. Należy…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)