3.3. Estymacja punktowa (jednowartościowa) 3.3.1. Zasady estymacji punktowej Przedmiotem estymacji punktowej jest wnioskowanie na podstawie wyników próby statystycznej o wartości parametru (lub parametrów), od którego zależy rozkład rozpatrywanej zmiennej.
Estymacja punktowa prowadzi do znalezienia jednej wartości, którą w świetle wyników próby i przyjętych kryteriów doboru estymatorów można uznać za najlepsze przybliżenie (estymację, oszacowanie, ocenę) nieznanego, ale interesującego nas parametru rozkładu rozpatrywanej zmiennej losowej.
Jeżeli przedmiotem estymacji punktowej jest większa liczba parametrów, to wnioskowanie sprowadza się do ustalenia ciągu liczb (wektora = macierzy jednokolumnowej), które w świetle wyników obserwacji można uznać za najlepsze przybliżenie nieznanych wielkości.
Należy zaznaczyć, że parametry rozkładu rozpatrywanej zmiennej są wielkościami stałymi i nielosowymi, natomiast losowy składnik zawierają wyniki próby statystycznej.
Podstawowe znaczenie w teorii estymacji punktowej ma wybór estymatora.
Estymatorem parametru rozkładu zmiennej losowej X nazywamy każdą funkcję zmiennych losowych obserwowanych w próbie, ale taką, że stanowi ona zmienną losową o rozkładzie zdefiniowanym przez funkcję i przez wartości zmiennej losowej w próbie.
Ustaloną wartość , jaką może przyjąć estymator w konkretnej próbie, nazywamy oceną (oszacowaniem) parametru .
Różnicę między estymatorem i wartością parametru nazywamy błędem estymacji lub błędem szacunku . Błąd ten ma charakter losowy o rozkładzie zdefiniowanym przez rozkład estymatora.
Dla ustalonego parametru można znaleźć kilka różnych estymatorów , ale o różniących się między sobą własnościach.
W celu racjonalnego wyboru estymatorów punktowych wyróżnia się trzy zasadnicze ich własności, a mianowicie: obciążenie, zgodność, oraz efektywność.
Estymator jest nieobciążony , jeśli średnia jego rozkładu z próby jest dokładnie równa wartości parametru, tzn. że wartość przeciętna estymatora w długiej serii wyników odpowiada wartości parametru.
(3.3.1)
Estymator jest zgodny , jeśli podlega prawu wielkich liczb, czyli
(3.3.2) Efektywność estymatora zależy od tego, jak bardzo rozkład z próby skupia się wokół rzeczywistej wartości parametru, czyli jak wielki jest rozrzut wartości estymatora względem wartości przeciętnej. Dla estymatora nieobciążonego wariancja estymatora jest miarą tego rozrzutu. Efektywność jest wyższa im niższa jest wariancja estymatora.
Pierwiastek kwadratowy z wariancji estymatora nieobciążonego nosi nazwę błędu średniego szacunku . Nazwa ta pochodzi stąd, że mierzy przeciętną wielkość błędu szacunku. Ten parametr powszechnie przyjmuje się do określenia
(…)
…)
Rozwiązanie układu równań (3.3.19) dostarcza wartości , które spełniają warunek wystarczający istnienia maksimum funkcji (3.3.18).
W etapie trzecim sprawdzamy, czy rozwiązanie układu równań (3.3.19) spełnia warunek wystarczający istnienia maksimum funkcji (3.3.18). Warunek ten wyraża się formą kwadratową utworzoną z drugich pochodnych, która powinna być określona ujemnie, czyli
(3.3.20)
Jako przykład…
… z wektorem - jednokolumnową macierzą - estymatorów postaci
(3.3.4)
Na podstawie zaobserwowanych wyników próby możemy obliczyć wartości poszczególnych składowych wektora , które będziemy oznaczać przez i będą one stanowić oceny poszukiwanych parametrów .
Wektor ocen parametrów jest zwykle uzupełniany macierzą kowariancji estymatorów. Macierz kowariancji zawiera informacje o ocenie dokładności estymacji dla przypadku k-wymiarowego.
Macierz kowariancji estymatorów definiuje się w zapisie macierzowym następująco
(3.3.5)
Elementy na przekątnej macierzy (3.3.5) określają kwadraty błędów średnich szacunków poszczególnych parametrów, czyli ich wariancje, zaś elementy poza przekątną określają kowariancje poszczególnych par zmiennych.
Dla przykładu rozpatrzmy zbiorowość o rozkładzie normalnym…
…) wynika, że oba estymatory spełniają prawo wielkich liczb.
Z powyższych rozważań wynika, że w zastosowaniach praktycznych należy stosować estymator nieobciążony .
Estymatorowi (3.3.6) odpowiada macierz kowariancji w postaci
(3.3.12)
Zerowe elementy poza główną przekątną są konsekwencją twierdzenia, że dla prób ze zbiorowości o rozkładach normalnych i są niezależne, czyli kowariancja…
… , których wartości należy oszacować.
Niech zależność funkcyjna zmiennej losowej względem parametrów będzie znana i może być zapisana w formie funkcji
(3.3.27)
przy czym postać funkcji g powinna być liniowa lub za pomocą różniczki zupełnej powinna być doprowadzona do formy liniowej. Parametry oraz kształt funkcji g zależą od specyfiki rozpatrywanego zagadnienia.
Przykładem takiego zagadnienia mogą być obserwacje…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)