Estymatory dostateczne Powiemy, że estymator jest estymatorem dosta-tecznym , jeśli wykorzystuje on całą informację w próbie związaną z estymacją parametru , tj. jeżeli całą wiedzę o którą można uzyskać z poszcze-gólnych wartości z próby i ich kolejności, można równie dobrze uzyskać z samego Definicja IV.1 Statystyka jest estymatorem dostatecznym parametru wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej wartości warunkowy rozkład prawdopodobień-stwa lub gęstość próby losowej , pod warunkiem , jest niezależna od Przykład 1.
jest estymatorem dostatecznym średniej po-pulacji normalnej ze znaną wariancją.
Estymatory odporne Estymator nazywamy odpornym , jeśli jego rozkład z próby nie zmienia się znacznie w wyniku naru-szenia założeń. Takie naruszenia założeń często są spowodowane przez obserwacje odstające.
Pojęcie odporności dotyczy również innych narzę-dzi statystycznych. Najczęściej wykorzystywane estymatory parametrów, utworzone na podstawie n-elementowej próby prostej: Nieznany parametr populacji Estymator Własności Dla jakiej rodziny rozkładów Wartość przeciętna (oczekiwana) μ zgodny, nieobciążony rozkład dowolny; dla rozkładu N( μ,σ) również efektywny mediana z próby zgodny, asymptotycznie nieobciążony rozkład dowolny Wariancja σ 2 zgodny, asymptotycznie nieobciążony rozkład dowolny zgodny, nieobciążony rozkład dowolny Odchylenie standardowe σ S zgodny rozkład dowolny Współczynnik zmienności zgodny rozkład dowolny METODY ESTYMACJI PARAMETRÓW Metoda Momentów (MM) Metoda Najmniejszych Kwadratów (MNK) Metoda Największej Wiarogodności (MNW) Metoda Momentów Metoda momentów opiera się na przyrówna-niu pierwszych kilku momentów populacji do odpowiadających im momentów próby i roz-wiązaniu tak utworzonego układu równań, by wyznaczyć nieznane parametry populacji.
Definicja IV.2 k-tym momentem z próby ze zbioru obserwacji jest średnia ich k-tych potęg:
(…)
… na wartości próby i wtedy wybieramy jako nasze oceny nieznanych parametrów te wartości, dla któ-rych prawdopodobieństwo lub gęstość praw-dopodobieństwa otrzymania tych wartości jest największe. Definicja II.4
Jeśli są wartościami próby loso-wej z populacji z parametrem , to funkcja wiarogodności próby określona jest równa-niem
dla wartości wewnątrz danej dziedziny. Tutaj jest wartością łączne-go rozkładu prawdopodobieństwa lub łącznej gęstości prawdopodobieństwa zmiennych loso-wych w .
Metoda największej wiarogodności maksymali-zuje funkcję wiarogodności względem parame-tru . Wartość parametru , która maksymali-zuje funkcję wiarogodności, jest oceną naj-większej wiarogodności parametru Przykład 3. Jeśli stanowią n-elementową próbę losową z populacji normalnej ze średnią i wariancją , to ocenami największej wia-rogodności parametrów tego rozkładu są:
= i = .
Estymatory MNK mają własność niezmienni-czości : Jeśli jest estymatorem największej wiarogodności parametru i funkcja jest ciągła, to jest również estymatorem MNW .
Stąd wynika, że = jest MNW oceną parametru .
Statystyka matematyczna, Wykład IV, Estymacja punktowa 8
…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)