Estymacja przedziałowa i przykłady

Nasza ocena:

5
Pobrań: 63
Wyświetleń: 728
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Estymacja przedziałowa i przykłady - strona 1 Estymacja przedziałowa i przykłady - strona 2 Estymacja przedziałowa i przykłady - strona 3

Fragment notatki:

3.4. Estymacja przedziałowa 3.4.1. Zasady estymacji przedziałowej Estymacja przedziałowa polega na podaniu takiego przedziału liczbowego (k-wymiarowego obszaru), aby z dostatecznym stopniem zaufania można było przypuszczać, że szacowany parametr znajdzie się wewnątrz tego przedziału. Aby zbudować odpowiedni przedział szacujący wartość nieznanego parametru , konieczna jest znajomość rozkładu takiej statystyki, w której występuje parametr .
Przedziałem ufności dla parametru na poziomie istotności , przy czym , nazywamy przedział spełniający warunki:
jego końce , są funkcjami próby losowej i nie zależą od szacowanego parametru ,
prawdopodobieństwo pokrycia przez ten przedział nieznanego parametru jest równe , czyli
(3.4.1)
Inna definicja przedziału ufności może być następująca; jeżeli dla różnych zaobserwowanych próbek losowych znajdziemy wiele realizacji przedziału ufności, to w 100% przypadkach wyznaczone przedziały pokryłyby nieznaną wartość parametru .
3.4.2. Przedziały ufności dla nieznanej wartości przeciętnej Model 1. Cecha X populacji generalnej posiada rozkład , o nieznanej wartości przeciętnej i znanym odchyleniu standardowym . Szukamy przedziału ufności dla , w oparciu o n -elementową próbę prostą .
Z rozważań zawartych w rozdziale 3.2.2 wynika, że statystyka ma rozkład , co w efekcie jej standaryzacji otrzymuje się nową zmienną losową
(3.4.2)
która ma rozkład . Statystykę tę można wykorzystać do konstrukcji przedziału ufności dla parametru , gdyż jej rozkład nie zależy od szacowanego parametru .
Rys. 3.2
Zgodnie z rys. 3.2 dla ustalonego można znaleźć takie i , aby
(3.4.3)
W tym celu należy dobrać i spełniające warunek i określić kwantyle i rozkładu zmiennej Z , czyli rozkładu normalnego. Po uwzględnieniu (3.4.2) można zapisać
(3.4.4)
gdyż
(3.4.5)
Po rozwiązaniu nierówności zawartej w nawiasie kwadratowym względem parametru , otrzymuje się przedział ufności określony nierównością
(3.4.6)
Z przedstawionych rozważań wynika, że w zależności od sposobu wyboru i można utworzyć nieskończenie wiele przedziałów ufności dla nieznanego parametru, już przy ustalonym współczynniku istotności . Można również konstruować przedziały prawostronne lub lewostronne .
W praktycznych zastosowaniach najczęściej korzystamy z symetrycznych przedziałów dwustronnych, czyli , w postaci (por. rys. 3.3)
(3.4.7)
Rys. 3.3
lub przy uwzględnieniu znaku kwantyli , postaci
(3.4.8)
W przypadku tym otrzymuje się przedział symetryczny względem o długości

(…)

…. Przedziały ufności dla wariancji i odchylenia standardowego
Model 1. Niech cecha X populacji ma rozkład o nieznanych i  , ale przy próbie o liczności .
Konstrukcję przedziału ufności oprzemy na statystyce chi-kwadrat
(3.4.19)
która zgodnie z wzorem (3.2.20) ma rozkład chi-kwadrat o stopniach swobody. Oznaczmy kwantyle tego rozkładu przez , dla ustalonego poziomu istotności . Zgodnie z rysunkiem 3.5…
… tego rozkładu.
W rozdziale 3.2.5 wykazano, że statystyka
(3.4.10)
gdzie:
(3.4.11)
ma rozkład Studenta o stopniach swobody. Ponieważ rozkład tej statystyki jest niezależny od nieznanych parametrów i , a zależy tylko od liczności próby, zatem statystykę tę można wykorzystać do konstrukcji przedziału ufności dla wartości przeciętnej .
Rys. 3.4
Z tablic kwantyli rozkładu Studenta przy stopniach swobody i ustalonym…
… rozkładu Studenta można wykorzystać kwantyle rozkładu normalnego.
Jednostronne przedziały ufności pozwalają na bezpośrednią weryfikację hipotezy H: , przy hipotezach alternatywnych 1° K: lub 2° K: , na poziomie odpowiadającym prawdopodobieństwu błędu pierwszego rodzaju, czyli prawdopodobieństwu odrzucenia hipotezy zerowej H wtedy, gdy ona jest w rzeczywistości prawdziwa. Jeżeli testowana wartość mieści…
…; 425.111; 425.112. Obliczyć estymatory:
Wartości oczekiwanej,
Odchylenia standardowego zmiennej losowej (wyniku pomiaru),
Odchylenia standardowego wartości średniej.
Zakładamy, że rozpatrywany zbiór ma cechy rozkładu normalnego.
Rozwiązanie:
Ad 1°). Estymator wartości oczekiwanej obliczymy według wzoru
Ad 2°). Estymator odchylenia standardowego wyników pomiaru (błędu standardowego pomiaru) obliczamy…
… będzie dla każdego boku różna, zaś obliczymy ze statystyki, czyli . Współczynnik 1 stanowi wartość kwantylu rozkładu normalnego
dla dla czyli w 68% obliczone średnie arytmetyczne z dwóch pomiarów boku powinny zawierać się w przedziale .
Zadanie 5. W celu wyznaczenia wysokości punktu (reperu) Nr 10 wykonano niwelację geometryczną do trzech reperów (Nr 3, Nr 5, Nr 7) o znanych wysokościach z. W wyniku tych pomiarów…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz