Estymacja - omówienie

ESTYMACJA Estymacją nazywamy szacowanie wartości parametrów, ewentualnie postaci rozkładu zmiennej losowej w populacji generalnej, na podstawie rozkładu empirycznego (obserwacji) uzyskanego z próby losowej pobranej z tej populacji.
Podstawowe pojęci a: - parametr populacji (np ) - estymator (np ) (zmienna losowa)
T - ocena parametru (wartość liczbowa, którą przyjmuje estymator dla konkretnej próby, czyli realizacja zm. los. )
DF. E STYMATOREM parametru rozkładu populacji generalnej nazywamy statystykę z próby , która służy do oszacowania wartości tego parametru.
Błąd szacunku - - (różnica między estymatorem a parametrem). Błąd szacunku mierzymy: Średni (standardowy) błąd szacunku parametru : Względny błąd szacunku parametru : WŁASNOŚCI ESTYMATORÓW: Estymator parametru jest nieobciążony , jeżeli : . Obciążenie estymatora : . Estymator parametru jest asymptotycznie nieobciążony, jeżeli . Estymator parametru jest zgodny , jeżeli dla dowolnego Estymator najefektywniejszym parametru to taki estymator nieobciążony , który ma najmniejszą wariancję spośród wszystkich estymatorów parametru . Efektywność estymatora jest to wartość wyrażenia: , gdzie - estymator najefektywniejszy . Estymator jest asymptotycznie najefektywniejszy jeżeli . Estymator jest dostateczny , jeśli wykorzystuje wszystkie informacje o szacowanym parametrze, które są zawarte w danych. TW IERDZENIA Jeżeli estymator parametru jest zgodny, to jest asymptotycznie nieobciążony.
Jeżeli estymator parametru jest nieobciążony lub asymptotycznie nieobciążony oraz , to jest estymatorem zgodnym . W yznaczanie wariancji estymatora najefe ktywniejszego Twierdzenie- nierówność Rao-Cramera Przy pewnych ogólnych warunkach wariancja dowolnego nieobciążonego estymatora parametru spełnia relację:
gdzie: oznacza funkcję gęstości lub funkcję prawdopodobieństwa rozkładu populacji generalnej.
ZADANIA Zad. 1. Wykazać, że średnia arytmetyczna z próby jest:
a) estymatorem nieobciążonym i zgodnym parametru .
b) jeżeli X podlega rozkładowi normalnemu to jest estymatorem najefektywniejszym parametru .
Zad.2 Wykazać, że wariancja z próby jest estymatorem asymptotycznie nieobciążonym i zgodnym parametru

(…)

… geometrycznego postaci:
. Oszacować parametr p korzystając z estymatora wyznaczonego metodą największej wiarygodności.
Zad. 4. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona o nieznanym parametrze . Oszacować metodą największej wiarogodności: .
Zad. 5. Podane obserwacje: 1034 2720 482 622 2624 420 342 703 stanowią próbę losowa z rozkładu wykładniczego mającego funkcję gęstości postaci:
Oszacować parametr korzystając…
… wariancji, które wynosi 5. Znaleźć nieobciążone oszacowanie wariancji. Zad.7 Populacja ma rozkład wykładniczy określony następująca funkcją gęstości:
Losujemy n-elementową próbę prostą i jako estymator parametru przyjmujemy odwrotność z średniej z próby . a) Czy jest to estymator nieobciążony parametru ? b) Zbadać zgodność i efektywność tego estymatora. Zad.8 Sprawdzić, czy średnia arytmetyczna, utworzona na podstawie próby prostej wylosowanej z rozkładu Poissona o parametrze λ, jest estymatorem zgodnym i najefektywniejszym wartości przeciętnej w tym rozkładzie.
Zad.9 Na podstawie czterech niezależnych obserwacji X1, X2, X3, X4 pochodzących z rozkładu Poissona o wartości przeciętnej m., wyznaczono cztery estymatory parametru m, mianowicie: Q1=X1, Q2=(X1+X4)/2, Q3=(X1+X2+X3+X4)/4 i Q4=(2X1+3X2+X3+4X4)/10…
… próbę losowa z rozkładu dwupunktowego postaci: gdzie . Oszacować parametr p korzystając z estymatora wyznaczonego metodą największej wiarygodności.
Zad. 2. Populacja generalna ma rozkład dwumianowy z nieznanym parametrem p. Znajdź estymator największej wiarygodności dla tego parametru z n-elementowej próby prostej: Zad. 3. Podane obserwacje: 5 12 7 6 2 7 6 5 13 1 stanowią próbę losowa z rozkładu…
... zobacz całą notatkę