To tylko jedna z 25 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
4.2. Estymacja liniowych modeli według MNK 4.2.1. Wprowadzenie W rozwiązaniach zagadnień dotyczących zbierania i przetwarzania informacji o terenie najczęściej występuje zadanie uzgodnienia (wyrównania) wyników pomiarów wielkości, które funkcyjnie są związane z parametrami opisującymi rozpatrywane zagadnienie (zjawisko), lub funkcyjnie związane są pomiędzy sobą.
W typowych pomiarach geodezyjnych mamy do czynienia z uzgadnianiem wyników pomiarów następujących wielkości: kątów w płaszczyznach poziomych, kątów w płaszczyznach pionowych, długości w płaszczyznach poziomych, długości w przestrzeni trójwymiarowej, różnic wysokości itp. Każdej wielkości obserwowanej należy przypisać odchyłkę, która spełnia zasadę MNK dla modelu stochastycznego.
Zgodnie z zasadą MNK (3.3.27), niech obserwowana wielkość stanowi zależność funkcyjną względem parametrów , czyli
, (4.2.1)
przy czym wielkości mogą być reprezentowane przez kąty, długości lub różnice wysokości, zaś parametry odpowiadają współrzędnym punktów, które definiują rozpatrywane kąty, długości lub różnice wysokości.
Zastosowanie MNK do estymacji parametrów wymaga przedstawienia funkcji (4.2.1) w postaci liniowej. Najwygodniejszym sposobem doprowadzenia każdej funkcji do postaci liniowej jest rozwinięcie rozpatrywanej funkcji w szereg Taylora, czyli
(4.2.2)
Ze względu na okoliczność, że w pomiarach geodezyjnych zawsze możemy wyznaczyć przybliżone wartości parametrów , to w rozwinięciu (4.2.2) wystarczy uwzględnić tylko różniczkę (d g ) stopnia pierwszego. Zatem każdą wielkość funkcyjną L możemy z wystarczającym przybliżeniem zapisać w postaci
(4.2.3)
Jeżeli od wielkości obserwowanej L odejmiemy wartość funkcji g dla przybliżonych wartości parametrów , czyli , to otrzymamy zredukowaną wartość wielkości L , która stanowi wyraz wolny równania (4.2.3) i będziemy ją oznaczać przez (4.2.4)
Po uwzględnieniu przyjętych oznaczeń, równanie (4.2.3) przyjmuje ostateczną postać
(4.2.5)
przy czym wskaźnik "0" przy nawiasie oznacza wartość pochodnej cząstkowej dla przybliżonych wartości parametrów .
Układ równań (4.2.5) dla spełnia warunki liniowego modelu stochastycznego, czyli (por. (3.3.33))
(4.2.6)
przy czym oznacza składnik losowy, reprezentujący tę część wahań zmiennej , które nie są wyjaśnione przez model (4.2.1). Na ogół nie jest znany rozkład zmiennej losowej , ale są a priori zakładane parametry i .
Oszacowanie statystyczne modelu (4.2.1) (4.2.6) na podstawie wyników pomiarów (pobranej próby) sprowadza się do znalezienia ocen parametrów oraz wariancji , a także wartości składnika losowego
(…)
… wyznacza się według wzoru
Ad 7). Przedziały ufności dla wektora Z wyznacza się z rozkładu Studenta, który dla poziomu istotności daje kwantyl o następujących parametrach
Symetryczne przedziały ufności dla składowych Z wyrażają następujące wartości
przy czym oraz stanowią odchylenia standardowe tych parametrów.
Ad 8). Przedziały ufności na poziomie dla wektora h są zdefiniowane za pomocą kwantyla rozkładu Studenta oraz odchyleń standardowych, których wartości stanowią pierwiastki kwadratowe elementów na przekątnej macierzy , czyli
Ad 9). Funkcja gęstości dla rozkładu normalnego opisanego macierzą kowariancji wynika bezpośrednio z jej macierzy odwrotnej, czyli macierzy . Stosując zapis macierzowy, funkcja gęstości dla wektora Z przyjmuje postać symboliczną lub postać jawną
przy czym
Ad 10…
… obserwacyjną. Z porównania (4.2.6) i (4.2.9) wynika związek . Aby odróżnić obie formy równań, postać (4.2.6) będziemy nazywać równaniem obserwacyjnym (aproksymacyjnym).
4.2.2. Równanie obserwacyjne dla geodezyjnych wielkości
Kąt poziomy jest jednoznacznie zdefiniowany przez dwie współrzędne trzech punktów, czyli zgodnie z rys. 4.1
. Po obliczeniu pochodnych cząstkowych względem poszczególnych współrzędnych…
… się według wzoru
i przyjmuje następujące wartości
Ad 12). Przedziały ufności dla współrzędnych punktów i wielkości obserwowanych wyznacza się na podstawie statystyki Studenta, według ogólnej formuły dla wielkości „w”
gdzie:
- wartość estymowana (modelowa),
- kwantyl rozkładu Studenta na poziomie dla stopni swobody,
- odchylenie standardowe dla wielkości estymowanej (modelowej).
W analizowanym przykładzie…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)