7.4.1. Energia kinetyczna układu punktów materialnych
Energią kinetyczną punktu materialnego o masie m, poruszającego się z
prędkością v, nazywamy połowę iloczynu masy punktu i kwadratu jego prędkości:
E=
mv 2
.
2
Dla układu n punktów materialnych o masach mk poruszających się
z prędkością vk energia kinetyczna będzie równa sumie energii kinetycznych
poszczególnych punktów materialnych:
mk v2 1 n
k
= ∑ mk v2 .
k
2
2 k =1
k =1
n
E=∑
(7.75)
Podobnie jak w przypadku krętu układu punktów materialnych (7.3.2),
prędkość bezwzględną vk każdego punktu materialnego rozłożymy na prędkość
unoszenia vC, wywołaną ruchem postępowym ruchomego układu współrzędnych
x ′ , y ′, z ′ o początku w środku masy C względem układu nieruchomego x, y, z,
i prędkość względną vCk względem układu ruchomego (rys. 7.17):
v k = v C + v Ck .
Po podstawieniu tej zależności do wzoru (7.75) oraz przedstawieniu kwadratu
prędkości w postaci iloczynu skalarnego
v2 = vk ⋅ vk
k
otrzymamy:
E=
1 n
1 n
m k v k ⋅ v k = ∑ m k (v C + v Ck ) ⋅(v C + v Ck ) =
∑
2 k =1
2 k =1
(
)
1 n
2
2
∑ m k v C + 2 v C ⋅ v Ck + v Ck =
2 k =1
n
1 2 n
1 n
2
= v C ∑ m k + v C ⋅ ∑ m k v Ck + ∑ m k v Ck .
2 k =1
2 k =1
k =1
=
(a)
Drugi wyraz po prawej stronie powyższego równania jest równy zeru, ponieważ
występująca w nim suma jest pędem układu punktów materialnych w jego ruchu
względem ruchomego układu współrzędnych x ′ , y ′, z ′ . Wiadomo jednakże, że
pęd jest równy iloczynowi masy całkowitej i prędkości środka masy (7.44), która w
stosunku do ruchomego układu odniesienia x ′ , y ′, z ′ jest równa zeru. Zatem
n
∑m
k =1
k
v Ck = 0 .
Ostatni wyraz jest energią kinetyczną układu punktów materialnych w jego ruchu
względem ruchomego układu odniesienia x ′ , y ′, z ′ :
Ec =
1 n
2
∑ m k v Ck .
2 k =1
(7.76)
Po oznaczeniu masy całkowitej rozpatrywanego układu materialnego przez
n
m = ∑ mk
k =1
równanie (a) przyjmuje postać:
E = EC +
1
2
mv C .
2
(7.77)
Zależność (7.77) nosi nazwę twierdzenia Koeniga.
Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa energii tegoż
układu w jego ruchu względem środka masy oraz energii kinetycznej masy
całkowitej poruszającej się z prędkością środka masy.
7.4.2. Energia kinetyczna bryły
W celu wyznaczenia energii kinetycznej bryły o masie m poruszającej się
ruchem ogólnym postąpimy podobnie jak przy wyznaczaniu krętu bryły (p. 7.3.3).
W bryle myślowo wydzielimy element masy dm (rys. 7.18) poruszający się z
prędkością zgodną ze wzorem (5.32):
v = v C + ω× r ′ .
(b)
Energia kinetyczna tego elementu
dE =
1
v⋅ v dm ,
2
a energia bryły jest równa całce względem całej masy z tego wyrażenia:
E=
1
∫ v⋅ v dm .
2m
(c)
Po podstawieniu do wzoru (c) prędkości w postaci (b) otrzymamy:
1
∫ (v C + ω× r ′) ⋅ (v C + ω× r ′)dm =
2m
1 2
1
= ∫ v C dm + ∫ v C ⋅ (ω× r ′)dm + ∫ (ω× r ′) ⋅ (ω× r ′)dm .
2m
2m
m
E=
(d)
Po przekształceniu wyrażeń podcałkowych w drugiej i trzeciej całce do postaci:
v C ⋅ (ω× r ′) = (v C × ω ) ⋅ r ′,
(ω× r ′) ⋅ (ω× r ′) = ω⋅ [r ′×
(…)
… równanie:
1
(m1 + 2m 2 )r 2 ω 2 = ⎡ M − m 2 g(sinα + µcosα )⎤rϕ ,
⎥
⎢r
4
⎦
⎣
skąd
ω=
2 M − m 2 g r (sinα + µcosα )
ϕ.
r
m 1 + 2m 2
(c)
7.4.4. Zasada zachowania energii
Obecnie rozpatrzymy ruch układu materialnego, na który działają siły
potencjalne, zarówno zewnętrzne jak i wewnętrzne. W punkcie 7.1.5
udowodniono, że jeżeli na punkt materialny działa siła potencjalna, to praca
wykonana przez tę siłę…
… do równania (i) oznaczeń:
otrzymamy:
albo ogólnie
U2 = Uz2 + Uw2 i U1 = Uz1 + Uw1
E2 + U2 = E1 + U1
E + U = const.
(7.89)
Jest to zasada zachowania energii mechanicznej.
Gdy na układ materialny działają siły potencjalne, wtedy suma energii
kinetycznej i potencjalnej tego układu jest wielkością stałą.
Zasada zachowania energii mechanicznej jest słuszna również w przypadku,
gdy działające siły można rozłożyć na siły potencjalne i siły, które nie są
potencjalne, ale nie wykonują pracy, np. reakcje gładkich powierzchni.
Układy materialne, do których odnosi się zasada zachowania energii
mechanicznej, nazywamy układami zachowawczymi, a siły siłami
zachowawczymi. Układy, których nie dotyczy ta zasada, nazywamy układami
rozpraszającymi lub dyssy-patywnymi, np. układy z tarciem.
Zasada zachowania energii mechanicznej jest trzecią zasadą zachowania
w dynamice, po zasadzie zachowania pędu i zasadzie zachowania krętu. Należy
pamiętać, że zasady zachowania są słuszne tylko wówczas, gdy są spełnione
odpowiednie założenia poczynione przy ich wyprowadzaniu.
Przykład 7.13. Cienki jednorodny pręt OA o długości L i masie m może się
obracać bez tarcia wokół osi poziomej prostopadłej do osi pręta przechodzącej
przez jego koniec O (rys. 7.23). Jaką
O
prędkość należy nadać końcowi A w
chwili, gdy pręt jest w spoczynku w
L/2
ω
położeniu równowagi stałej, aby wykonał
on ćwierć obrotu?
U=0
L
C
vA
Rozwiązanie. Na pręt działa siła
ciężkości, która jest siłą potencjalną.
Zatem do rozwiązania zadania możemy
zastosować zasadę zachowania energii
mechanicznej (7.89):
mg
A
Rys. 7.23. Wyznaczenie prędkości
początkowej końca pręta
E1…
… między punktami układu materialnego nie ulegają
zmianie, praca sił wewnętrznych będzie równa zeru. Zatem dla bryły sztywnej lub
ciała sztywnego praca sił wewnętrznych jest równa zeru, Lw = 0. W tej sytuacji
zasadę pracy i energii kinetycznej dla bryły sztywnej można zapisać w postaci:
E 2 − E1 = L z .
(7.88)
Przyrost energii kinetycznej bryły sztywnej w skończonym przedziale czasu jest
równy pracy wykonanej w tym samym czasie przez wszystkie siły zewnętrzne
działające na tę bryłę.
Przykład 7.12. Do bębna kołowrotu o promieniu r i masie m1 jest przyłożony
stały moment obrotowy M. Do końca wiotkiej liny nawiniętej na bęben
przymocowano ciężar o masie m2, który przesuwa się po równi pochyłej o kącie
nachylenia α(rys. 7.22). Współczynnik tarcia między masą m2 a równią wynosi µ.
Jaką prędkość kątową ω osiągnie bęben…
… 2 ′ + I y′ ω 2′ + I z′ ω 2′ .
x
y
z
2
(7.82)
Jeżeli ruch bryły jest ruchem obrotowym wokół stałej osi obrotu, np. l, z
prędkością kątową ω, to energia ruchu obrotowego
A
ω
vA
E=
R
r
1
I l ω2 ,
2
(7.83)
gdzie Il jest momentem bezwładności
względem osi obrotu l.
vC
C
S
Przykład 7.11. Kołowrót o masie
m1 = 5m i promieniach r oraz R = 1,5r
toczy się bez poślizgu małym obwodem
vC
m2
po poziomej listwie…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)