Elementy teorii zbiorów. Funkcje i relacje. Metryki (notatki do wykładu) Wrocław 2012 O czym będzie mowa? Elementy teorii zbiorów Przykłady wstępne Pojęcie zbioru Właściwości zbiorów Działania na zbiorach Systematyczna teoria zbiorów Relacje i funkcje Relacje i funkcje jako zbiory Właściwości relacji Relacje równoważności Relacje porządkujące Metryki Odległość i metryka Przykłady metryk Literatura Dariusz Wrzosek: Matematyka dla biologów . Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego. Warszawa 2008. Rozdziały 2–4. Jan Kraszewski: Wstęp do matematyki . Wydawnictwa Naukowo–Techniczne. Warszawa 2007. Rozdziały 2. i 5–7. Marek Zaionc, Jakub Kozik, Marcin Kozik: Logika i teoria mnogości . http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Logika˙i˙teoria˙mnogo%C5%9Bci 2008. Fragmenty rozdziałów 4., 5. i 10. Kilka przykładowych zbiorów Zbiór wartości logicznych { T, F } Zbiór liczb naturalnych N = { 0 , 1 , 2 , . . . } Zbiór liczb rzeczywistych R Zbiór wszystkich wielokątów wypukłych na płaszczyźnie Zbiór rodzajów wielokątów { trójkąt, czworokąt, pięciokąt, sześciokąt, … } Każdy alfabet (np. łaciński, grecki, Unicode, zasady tworzące kod DNA, itp.) Zbiór słów korzystających z danego alfabetu Zbiór tekstów literackich napisanych w danym języku Zbiór książek Zbiór gatunków owadów Populacja wszystkich owadów Co to jest zbiór? Definicja zbioru wg Georga Cantora: Zbiór jest to dowolna kolekcja dobrze określonych, rozróżnialnych elementów, będących obiektami postrzegania albo wytworami myśli. W teorii aksjomatycznej zbiór jest pojęciem pierwotnym. Zakłada się pewne właściwości zbiorów, jednak samego terminu „zbiór” nie definiuje się. Czym są elementy zbiorów? Wyrażenie x ∈ A czytamy: „ x jest elementem zbioru A ”. Element zbioru może być dowolnym obiektem, w tym również zbiorem. Żaden zbiór nie może być swoim własnym elementem. W praktyce na ogół rozpatrujemy zbiory składające się z elementów w pewnym sensie podobnych do siebie (chociaż nie jest to formalny wymóg). Kiedy zbiory są równe? Jedynym kryterium równości dwóch zbiorów jest, by posiadały one takie same elementy. A = B wtedy i tylko wtedy, gdy x ( x ∈ A ⇔ x ∈ B ) . Wynika stąd, że powtórzenia tego samego elementu w zbiorze nie są istotne, np. { a, a } = { a } . Podobnie nie jest istotna kolejność elementów, np. { a, b } = { b, a } . Zbiór pusty Zbiór pusty , oznaczany symbolem
(…)
…
kolejności elementów).
W porządku liniowym każde dwa elementy są porównywalne.
Do operowania tego typu relacjami jesteśmy przyzwyczajeni.
Przykłady:
Porządek liczb naturalnych na osi liczbowej,
Porządek liczb rzeczywistych na osi liczbowej,
Porządek leksykograficzny punktów na płaszczyźnie,
Porządek leksykograficzny słów (stąd pochodzi nazwa),
Wstępująca rodzina zbiorów.
Skale porządkowe
Porządek liniowy jest dobry, jeśli każdy zbiór elementów
posiada element najmniejszy. Dobrym porządkiem jest
np. porządek w zbiorze liczb naturalnych N.
Porządek liniowy jest gęsty, jeśli między dwoma elementami
zawsze da się wskazać inny element. Gęsty jest np. porządek
w zbiorze liczb wymiernych W.
Porządek liniowy jest ciągły, jeśli zbiór wszystkich elementów
większych od wszystkich elementów innego zbioru posiada
element najmniejszy, i na odwrót. Ciągły i gęsty jest
np. porządek w zbiorze liczb rzeczywistych R.
Uwaga: używając skali porządkowej mamy możliwość
dokonywania jedynie porównań typu „większy”–„mniejszy”;
nie ma działań arytmetycznych pozwalających sprawdzić
„o ile”, ani tym bardziej „ile razy” dany element a jest większy
od elementu b.
Metryka
Rozpatrujemy ustalony zbiór X.
Metryka jest funkcją…
…” jest
pozbawione podstaw. Ograniczymy się do rozpatrywania
pewnego zbioru Ω (zwanego uniwersum), do którego należą
wszystkie rozpatrywane elementy. Przy tym założeniu
A=B
wtedy i tylko wtedy, gdy
(x ∈ A ⇔ x ∈ B).
x∈Ω
Zawieranie zbiorów
Mówimy: „zbiór A zawiera się w zbiorze B” albo „zbiór A
jest podzbiorem zbioru B”, kiedy każdy element zbioru A
jest elementem zbioru B.
Oznaczenie
A ⊆ B stosujemy, gdy
x ∈ B,
x…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)