Ekstrema warunkowe - omówienie

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 441
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Ekstrema warunkowe - omówienie - strona 1 Ekstrema warunkowe - omówienie - strona 2 Ekstrema warunkowe - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

EKSTREMA WARUNKOWE
Niech U - obszar (zbiór spójny i otwarty),
U  TopR n ,
f : U  R,
g j : U  R , j  1,..., s .
Rozważmy zbiór A rozwiązań układu równań
 g1  x   0
 g x   0
 2


 g s x   0 ,

A  x  U : g1  x   g 2  x   ...  g s  x   0
Definicja
Funkacja f ma ekstremum warunkowe w punkcie x0  A przy warunkach
 g1  0
g  0
 2


 g s  0,

jeśli funkcja zawężona f A ma ekstremum lokalne w punkcie x0 .
Przykład
Zbadać ekstremum funkcji f  x, y   x 2  y 2 przy warunku x 2  y 2  1.
Wyznaczmy wykres funkcji f.
f 0, y    y 2  przekrój wykresu płaszczyzną x  0 jest parabolą z   y 2
f  x,0  x 2  przekrój wykresu płaszczyzną y  0 jest parabolą z  x 2




f  x, kx   1  k 2 x 2  przekrój wykresu płaszczyzną y  kx jest parabolą z  1  k 2 x 2
f  x, y   const  x 2  y 2  const  przekrój wykresu płaszczyzną z  const jest hiperbolą
1
Z warunku x 2  y 2  1 otrzymujemy
y1, 2   1  x 2 dla x   1,1.
Obliczmy wartość funkcji f dla punktów należących do wykresów krzywych y1 i y 2 .


1 f  x, y1   f x, 1  x 2  f1  x  dla x   1,1,
i zbadajmy funkcję f1 w przedziale (-1,1).


f1  x   x 2  1  x 2  2 x 2  1
f1'  x   4 x  0  x  0
f1' '  x   4  0  xmin  0
Zatem funkcja f1 ma minimum lokalne w punkcie xmin  0 , stąd funkcja f ma minimum warunkowe


2
w punkcie P 0, 1  xmin  0,1.
1
2
2 f  x, y 2   f  x, 1  x 2   f 2  x  dla x   1,1,




i zbadajmy funkcję f 2 w przedziale (-1,1).


f 2 x   x 2  1  x 2  2 x 2  1
i analogicznie do poprzedniego xmin  0.
Zatem funkcja f1 ma minimum lokalne w punkcie xmin  0 , stąd funkcja f ma minimum warunkowe


2
w punkcie P2 0, 1  xmin  0,1.
Jednakże jeśli z równania x 2  y 2  1 wyznaczymy x, to x1, 2   1  y 2 dla y   1,1.
Podobnie jak wcześniej obliczmy wartości funkcji f dla punktów należących do wykresów krzywych x1 i x2 .
~
1 f  x1 , y   f 1  y 2 , y  f1  y  dla y   1,1
~
i zbadajmy funkcję f1 w przedziale (-1,1).
~
f1  y   1  y 2  y 2  1  2 y 2
~'
f1  y   4 y  0  y  0
~' '
f1  y   4  0  ymax  0


~
Zatem funkcja f1 ma maksimum lokalne w punkcie ymax  0 , stąd funkcja f ma maksimum


2
warunkowe w punkcie P3 1  ymax ,0  1,0 .


~
2 f x2 , y   f  1  y 2 , y  f 2  y  dla y   1,1,
i zbadajmy funkcję ~2 w przedziale (-1,1).
f
~
f2 y  1 y2  y2  1 2 y2
i analogicznie do poprzedniego ymax  0.
~
Zatem funkcja f 2 ma maksimum lokalne w punkcie ymax  0 , stąd funkcja f ma maksimum


2
warunkowe w punkcie P4  1  ymax ,0   1,0 .
3
Metoda współczynników nieoznaczonych Lagrange'a (mnożników Lagrange'a)
Dla funkcji f i warunków g1  ...  g s  0 zdefiniujmy funkcję Lagrange'a:
s
 x  : f x     g x  , gdzie x  x ,..., x  U ,
j 1
j
j
1
n
1 ,..., s  R .
Ponieważ prawdziwa jest implikacja
x A 
 x   f x 
więc warunkiem koniecznym

(…)



zbiór wektorów, dla których zerują się różniczki funkcji g j w punkcie x0
Teza: 1 Jeśli d x20 h   0 dla h  0 i h  H ,
to funkcja f ma minimum warunkowe w punkcie x0 przy warunkach g1  g 2  ...  g s  0.
2 Jeśli d x20 h   0 dla h  0 i h  H ,
to funkcja f ma maksimum warunkowe w punkcie x0 przy warunkach g1  g 2  ...  g s  0.
4
Przykład cd.
Utwórzmy funkcję Lagrange'a
  x, y   x…
… przy   1.
1
 2
 2  2
x 2
 2
0
xy
 2
  2  2
y 2
i stąd
d    4
0
2
P
1

0
0

5
2
Czyli d P1 jest formą półokreśloną dodatnio (bo d1  4, d 2  0 ).
Wyznaczmy teraz zbiór tych wektorów h, dla których zeruje się pierwsza różniczka funkcji g w
punkcie P .
1
Ponieważ
g
 2x
x
g
 2y
y
więc
g
P1  h1  g P1  h2  0  h1  2  h2  0  h2  0
x
y
zatem H  h1 ,0 , h1…


zbiór wektorów, dla których zerują się różniczki funkcji g j w punkcie x0
Teza: 1 Jeśli d x20 h   0 dla h  0 i h  H ,
to funkcja f ma minimum warunkowe w punkcie x0 przy warunkach g1  g 2  ...  g s  0.
2 Jeśli d x20 h   0 dla h  0 i h  H ,
to funkcja f ma maksimum warunkowe w punkcie x0 przy warunkach g1  g 2  ...  g s  0.
4
Przykład cd.
Utwórzmy funkcję Lagrange'a
  x, y   x…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz