EKSTREMA WARUNKOWE
Niech U - obszar (zbiór spójny i otwarty),
U TopR n ,
f : U R,
g j : U R , j 1,..., s .
Rozważmy zbiór A rozwiązań układu równań
g1 x 0
g x 0
2
g s x 0 ,
A x U : g1 x g 2 x ... g s x 0
Definicja
Funkacja f ma ekstremum warunkowe w punkcie x0 A przy warunkach
g1 0
g 0
2
g s 0,
jeśli funkcja zawężona f A ma ekstremum lokalne w punkcie x0 .
Przykład
Zbadać ekstremum funkcji f x, y x 2 y 2 przy warunku x 2 y 2 1.
Wyznaczmy wykres funkcji f.
f 0, y y 2 przekrój wykresu płaszczyzną x 0 jest parabolą z y 2
f x,0 x 2 przekrój wykresu płaszczyzną y 0 jest parabolą z x 2
f x, kx 1 k 2 x 2 przekrój wykresu płaszczyzną y kx jest parabolą z 1 k 2 x 2
f x, y const x 2 y 2 const przekrój wykresu płaszczyzną z const jest hiperbolą
1
Z warunku x 2 y 2 1 otrzymujemy
y1, 2 1 x 2 dla x 1,1.
Obliczmy wartość funkcji f dla punktów należących do wykresów krzywych y1 i y 2 .
1 f x, y1 f x, 1 x 2 f1 x dla x 1,1,
i zbadajmy funkcję f1 w przedziale (-1,1).
f1 x x 2 1 x 2 2 x 2 1
f1' x 4 x 0 x 0
f1' ' x 4 0 xmin 0
Zatem funkcja f1 ma minimum lokalne w punkcie xmin 0 , stąd funkcja f ma minimum warunkowe
2
w punkcie P 0, 1 xmin 0,1.
1
2
2 f x, y 2 f x, 1 x 2 f 2 x dla x 1,1,
i zbadajmy funkcję f 2 w przedziale (-1,1).
f 2 x x 2 1 x 2 2 x 2 1
i analogicznie do poprzedniego xmin 0.
Zatem funkcja f1 ma minimum lokalne w punkcie xmin 0 , stąd funkcja f ma minimum warunkowe
2
w punkcie P2 0, 1 xmin 0,1.
Jednakże jeśli z równania x 2 y 2 1 wyznaczymy x, to x1, 2 1 y 2 dla y 1,1.
Podobnie jak wcześniej obliczmy wartości funkcji f dla punktów należących do wykresów krzywych x1 i x2 .
~
1 f x1 , y f 1 y 2 , y f1 y dla y 1,1
~
i zbadajmy funkcję f1 w przedziale (-1,1).
~
f1 y 1 y 2 y 2 1 2 y 2
~'
f1 y 4 y 0 y 0
~' '
f1 y 4 0 ymax 0
~
Zatem funkcja f1 ma maksimum lokalne w punkcie ymax 0 , stąd funkcja f ma maksimum
2
warunkowe w punkcie P3 1 ymax ,0 1,0 .
~
2 f x2 , y f 1 y 2 , y f 2 y dla y 1,1,
i zbadajmy funkcję ~2 w przedziale (-1,1).
f
~
f2 y 1 y2 y2 1 2 y2
i analogicznie do poprzedniego ymax 0.
~
Zatem funkcja f 2 ma maksimum lokalne w punkcie ymax 0 , stąd funkcja f ma maksimum
2
warunkowe w punkcie P4 1 ymax ,0 1,0 .
3
Metoda współczynników nieoznaczonych Lagrange'a (mnożników Lagrange'a)
Dla funkcji f i warunków g1 ... g s 0 zdefiniujmy funkcję Lagrange'a:
s
x : f x g x , gdzie x x ,..., x U ,
j 1
j
j
1
n
1 ,..., s R .
Ponieważ prawdziwa jest implikacja
x A
x f x
więc warunkiem koniecznym istnienia ekstremum warunkowego w punkcie
jest:
'
x0 0 ,
g j x0 0 , gdzie j 1,..., s , 1 ,..., s R
0
0
0
x0 x1 , x2 ,..., xn
czyli układ n+s równań
x 0 , i 1,..., n
WK xi 0
g x 0 , j 1,..., s
j 0
0
o n s niewiadomych x10 ,..., xn , 1 ,..., s .
Twierdzenie (WW istnienia ekstremum warunkowego)
Zał: Niech U - obszar w R n ,
f , g1 ,..., g s : U R,
f , g1 ,..., g s C 2 U ,
s
: f g
j 1
j
j
, j R
funkcja Lagrange'a
Ponadto niech
1 ' x0 0 g1 x0 0
g s x0 0
2 g1' x0 , g 2' x0 , ..., g s' x0 -
liniowo niezależne
oraz niech
H : h R n : d x0 g j h 0 dla j 1,..., s
zbiór wektorów, dla których zerują się różniczki funkcji g j w punkcie x0
Teza: 1 Jeśli d x20 h 0 dla h 0 i h H ,
to funkcja f ma minimum warunkowe w punkcie x0 przy warunkach g1 g 2 ... g s 0.
2 Jeśli d x20 h 0 dla h 0 i h H ,
to funkcja f ma maksimum warunkowe w punkcie x0 przy warunkach g1 g 2 ... g s 0.
4
Przykład cd.
Utwórzmy funkcję Lagrange'a
x, y x
2
dla funkcji f x, y x
2
y 2 i warunku g x, y x 2 y 2 1.
y 2 x2 y 2 1 .
Zbadamy WK. Ponieważ
2 x 2x
x
2 y 2y
y
zatem wystarczy rozwiązać układ
2 x 2 x 0
2 y 2y 0
2
2
x y 1
czyli
x1 0
y 1 0
2
2
x y 1
Z pierwszego równania x1 0 otrzymujemy : albo 1 x 0 i 1
albo 2 1 (i x dowolne) ,
i stąd rozwiązania układu równań w każdym z przypadków:
1
2
x 0
P 0,1
1
1
y 1
P2 0,1
1
x 1
P3 1,0
1
y 0
P4 1,0
1
Zatem otrzymaliśmy dwa punkty stacjonarne P 0,1, P2 0,1 dla 1
1
oraz dwa punkty stacjonarne P3 1,0 , P4 1,0 dla 1.
Wyznaczmy teraz macierz drugiej różniczki d 2 w punkcie P 0,1 przy 1.
1
2
2 2
x 2
2
0
xy
2
2 2
y 2
i stąd
d 4
0
2
P
1
0
0
5
2
Czyli d P1 jest formą półokreśloną dodatnio (bo d1 4, d 2 0 ).
Wyznaczmy teraz zbiór tych wektorów h, dla których zeruje się pierwsza różniczka funkcji g w
punkcie P .
1
Ponieważ
g
2x
x
g
2y
y
więc
g
P1 h1 g P1 h2 0 h1 2 h2 0 h2 0
x
y
zatem H h1 ,0 , h1 R.
d P1 g h
Zbadajmy teraz określoność formy
2
2
2
2
2
d P1 h1 , h2 2 P1 h1 2
P1 h1 h2 2 P1 h22
xy
x
y
dla h 0, h H czyli dla h h1 ,0 gdzie h1 0 .
Otrzymujemy
2
d P1 h1 ,0
2
x
2
P1 h12 4 h12 0
więc funkcja f ma w P minimum warunkowe przy warunku x 2 y 2 1.
1
Dla pozostałych punktów postępowanie jest analogiczne jak w przypadku punktu P .
1
opracował Marcin Uszko
6
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)