Egzamin z algebry

Egzamin poprawkowy z Algebry I
zestaw A
12.02.2009 r.
Proszę wybrać 5 zadań.
Czas rozwiązywania - 90 min.
1. Oblicz (przedstaw w postaci kanonicznej) w =
1
i
√ −√
2
2
A = z ∈ Z : |z 2 − i|
2008
. Podaj interpretację graficzną zbioru
|z 2 − w| .
2. Wyznacz moduły i części rzeczywiste rozwiązań równania
(1 + i)z 2 + z + 2i = −1.
3. Dane jest przekształcenie F : W2009 (R) → W2009 (R), (gdzie W2009 (R) to przestrzeń wielomianów w
współczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej 2009), określone wzorem
F (w)(t) = w(t) − w(2)t2008 .
Sprawdź, czy jest to przekształcenie liniowe, a jeśli tak, to wyznacz rząd, obraz oraz jądro tego
przekształcenia.
4. Dana jest macierz


0 −1 1
M =  −1 −2 0  .
1
p 2
a) W zależności od parametru p podaj ilość (różnych) rzeczywistych wartości własnych macierzy M ;
b) Dla p = 0 wyznacz wartości własne i wektory własne macierzy M i M 2 .
5. Dane są trzy wektory
u = [0, 1, −2]T ,
v = [1, 1, 2]T ,
w = [−1, 0, 1]T
oraz jest przekształcenie liniowe f : R3 → R3 o którym wiemy, że f (u) = v, f (v) = w, f (w) = u.
a) Czy podana informacja wyznacza jednoznacznie przekształcenie? Jeśli nie, to poniższe punkty
wykonaj dla dowolnego przykładu przekształcenia spełniających powyższe warunki.
b) Wyznacz macierz przekształcenia w bazach standardowych.
c) Czy przekształcenie jest epimorfizmem?
d) Czy przekształcenie ma wektor stały, czyli taki v, że f (v) = v?
e) Czy przekształcenie ma wektor o okresie 2, czyli taki v, że f (f (v)) = v i f (v) = v?
6. W zbiorze macierzy postaci
a b
0 c
, gdzie a = 0 ∧ c = 0
zdefiniowano działanie ⊗ wzorem
a b
0 c
⊗
d e
0 f
=
ad ae + bf
0
cf
.
Czy to działanie jest ma element neutralny? Jeśli tak, to czy każdy element ma element odwrotny?
Czy jest przemienne?
Powodzenia!
... zobacz całą notatkę