PRZESTRZENIE METRYCZNE:
Niech x0 i niech każdej parze elementów x,yX przyporządkowana będzie liczba rzeczywista g(x,y), taka że:
(1) g(x,y)0 oraz g(x,y)=0 x=y
(2) g(x,y) = g(y,x)
(3) z X, g(x,y) g(x,z) + g(z,y)
Wtedy g(x,y) nazywamy odległością elementu x,y; G- metryka w X, a para (x,y) - przestrzeń metryczna
np. metryka Euklidesowa:
x=Rn X=(t1, t2, t3,..., tn) Y=(s1, s2, ..., sn) g(x,y) =
75. Definicja i własności granicy ciągu, ciąg ograniczony, warunek Cauchy'ego, przestrzeń metryczna zupełna. Def. granicy ciągu Ciąg elementów przestrzeni metrycznej X nazywamy zbieżnym jeżeli :
Własności podstawowe ciągu : 1. ciąg nie ma więcej niż jednej granicy
2. jeśli ciąg jest od pewnego miejsca stały tzn. to ciąg jest zbieżny do c
3. jeśli w ciągu zbieżnym zamienić, dodać lub odjąć skończoną liczbę wyrazów to ciąg pozostanie zbieżny do tej samej granicy.
4. Podciąg nieskończony ciągu zbieżnego jest zbieżny do tej samej granicy (podciąg = ciąg wyrwany).
5. Ciąg jest zbieżny do wtedy i tylko wtedy gdy każdy ciąg z niego wyrwany zawiera podciąg zbieżny do .
Def. ciągu ograniczonego : Ciąg nazywamy ograniczonym gdy istnieje kula K taka, że Ciąg zbieżny jest ograniczony
Warunek Cauchy'ego: Ciąg elementów przestrzeni metrycznej x spełnia warunek Cauchy'ego (jest ciągiem Cauchy'ego) gdy dla:
Każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy'ego.
Przestrzeń metrycza zupełna Przestrzeń metryczną X nazywamy zupełną, gdy każdy ciąg Cauchy'ego jej elementów jest zbieżny do pewnego jej elementu.
77. Własności ciągów zbieżnych, twierdzenie o średnich arytmetycznych, twierdzenie o średnich geometrycznych. Własności ciągów zbieżnych: 1. Jeśli ciąg () jest ograniczony i () zbieżny do 0 to () *() jest zbieżny do 0.
2. Jeśli ciągi (),() są zbieżne (mają granicę) oraz istnieje , , to 3. Jeśli ciągi (),() są zbieżne to zbieżne są ciągi (+),(-),(*) oraz (c*) c=const
ponadto :
Jeśli ponadto założymy, że to ciągjest zbieżny.
Twierdzenie o średnich arytmetycznych Jeżeli to , Tw. o średnich geometrycznych Jeżeli to , 82. Kryteria zbieżności szeregów. 1. Porównawcze jeśli nNo - zbieżność - rozbieżność
2. Kryterium pierwiastkowe Cauchy'ego.
(…)
…. WZOR LEIBNITZA NA N-TĄ POTEGĘ ILOCZYNU TW. TAYLORA Z RESZTA PEANO:
Jeżeli funkcja jest określona w otoczeniu p. o wartościach rzeczywisych, ma pochodną n-tego rzędu w p. , to dla (n)<S zachodzi równość Szereg McLaurena 92. Punkt przegięcia, war. dostateczny i konieczny istnienia, wypukłość i wklęsłość funkcji.
Niech f ma pochodną w pukcie , jeżeli istnieje *>0, że f(x)-f()-f'()*(x-)0 dla 0<x-<*
i f(x)-f()-f()*(x-)0 dla 0<x-<*
WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA PUNKTÓW PRZEGIĘCIA:
Jeżeli funkcja ma pochodną f”(x) w punkcie i jest punktem przegięcia f, to f”() =0.
WARUNEK DOSTATECZNY ISTNIENIA PUNKTÓW PRZEGIĘCIA:
Niech funkcja f ma n-tą pochodną w punkcie, niech f”() = ... = () = 0 i ()0
(a) Jeżeli n jest liczbą nieparzystą, to funkcja ma punkt przegięcia w punkcie , jeżeli:
(1) ()>0, to funkcja przegina się z pod stycznej nad styczną
(2) ()<0, to funkcja przegina się z nad stycznej pod styczną
(b) Jeżeli n jest liczbą parzystą brak punktów przegięcia
TW. O WKLĘSŁOŚCI I WYPUKŁOŚCI Niech f ma druga pochodną f” w przedziale (a,b), wtedy (1) f jest wypukła w (a,b) f”(x)0
(2) f jest wklęsła w (a,b) f”(x) 0
93. Różniczka funkcji, określenie, zastosowanie do obliczeń przybliżonych, rodzaje błędów, przykłady.
Niech będzie dana funkcja y=f(x) różnicznowalna w pewnym otoczeniu punktu S=(-a;+a) a>0
oraz przyrost x=x- ,+x S
y = f(+x)- f() (df(x))= f'()*x = f'()*dx df(x)= f'(x)dx f'(x)=
f(x+x) = f(x)+f'(x)*x f'(x)0
dx - błąd bezwzględny zmiennej x
dy - błąd bezwzględny zmiennej y
x - błąd max. zmiennej x
y - błąd max. zmiennej y
*y - błąd względny max. wartości funkcji f(x)
*y = DEFINICJA CAŁKI NIEOZNACZONEJ:
Całką nieoznaczoną albo funkcją pierwotną z funkcji f w przedziale (a,b) nazywamy taką funkcję F różniczkowalna w (a,b), że F'(x)=f(x) axb. Jeżeli całka nieoznaczona w f istnieje, to f będzie funkcją całkowalną.
TW. O STAŁEJ CAŁKOWANIA:
1. Jeżeli F jest całką nieoznaczoną z f w (a,b), to G(x) = F(x) + C; C=const w (a,b)
2. Jeśli F i G są całkami nieoznaczonymi funkcji f w (a,b), to F(x) - G(x) = C; C=const w (a,b…
… jest różniczkowalna w, to jest różniczkowalna w i f'(g())=f'(g())g'().
Niech f będzie określona , ciągła i ściśle monotoniczna w pewnym otoczeniu punktu i niech f posiada w otoczeniu p. pochodną f'()0, wtedy funkcja odwrotna posiada pochodną w punkcie równą f() i ()()=
88. Ekstremum lokalne funkcji, warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego, tw. Rolla, tw. Lagrange'a, tw. Cauchy'ego, warunek dostateczny…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)