To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Ekstremum funkcji uwikłanej y=y(x) spełniającej równanie F(x,y)=0 Je eli funkcja y=y(x) określona równaniem F(x,y) ma ekstremum w 0 x oraz je eli: 1) F(x,y) jest określona w 0 P ( 0 x , 0 y ) ( 0 y =y( 0 x )) i ma pochodne dx df , dy df w tym punkcie. 2) F( 0 x , 0 y ) = 0 3) dy df ( 0 x , 0 y ) ≠ 0 to dx df ( 0 x , 0 y ) =0 Tw. (Warunek wystarczaj ą cy istnienia ekstremum funkcji) Je eli funkcja F(x,y) ∈ C 2 w pewnym otoczeniu punktu 0 P ( 0 x , 0 y ) oraz je eli: 1) F( 0 x , 0 y ) = 0 2) dx df ( 0 x , 0 y ) = 0 3) dy df ( 0 x , 0 y ) ≠ 0 4) Wyra enie A = 0 ) , ( ) y , (x 0 0 0 0 2 2 ≠ − y x dy dF dx F d To funkcja uwikłana y=y(x) określona równaniem F(x,y)=0 ma ekstremum w punkcie 0 x , przy czym jest to minimum (maksimum) gdy A0 (A0) Ekstremum funkcji jednej zmiennej Def. Funkcja y=f(x) ma ekstremum (maksimum) w punkcie 0 x , je eli ) , ( 0 δ x Q x ∈ Λ f(x) ≥ f( 0 x ) gdzie Q jest pewnym otoczeniem punktu 0 x Tw. Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji. Je eli funkcja F(x) ma w punkcie 0 x ekstremum i ma w tym punkcie 0 x pochodną to f `( 0 x )=0 Tw. Warunek wystarczaj ą cy istnienia pochodnej funkcji Je eli funkcja f(x) jest ciągła w 0 x i je eli w pewnym otoczeniu Q ( 0 x , δ ) ma pochodną f `( 0 x ) to 1) f `( 0 x )=0 2) ) , ( 0 0 x x x δ − ∈ Λ f `(x) 0 (f `(x) 0) To mówimy, e funkcja f(x) ma ekstremum w punkcie 0 x , przy czym jest to maksimum (minimum) lokalne. Warunek niezale no ś ci całki krzywoliniowej od drogi Wynik całki ∫ B A dx y x P ~ ) , ( + Q(x,y)dy nie zale y od drofi całkowania, lecz od punktu początkowego A i punktu końcowego B wtedy i tylko wtedy gdy wyra eniem podcałkowym jest ró niczka zupełna pewnej funkcji u(x,y) ∈ C 2 zapisujemy: ∫ B A dx y x P ~ ) , ( + Q(x,y)Dy = u(B) – u(A) Twierdzenie grena Je eli funkcje P(x,y), Q(x,y) ∈ C1 w pewnym obszarze regularnym D i je eli k jest
(…)
… ( x)
lim g ( x)
przy czym:
x→ x0
f ' ( x)
f ( x)
lim g ' ( x) = lim g ( x)
x→ x0
x→ x0
Twierdzenie o trzech ciągach
Je eli:
1) granice
lim a
n
=g i
n →∞
lim c
n
=g
n →∞
2) istnieje takie n 0 e dla ka dego n> n 0
to
lim b
n
a n ≤ bn ≤ c n
=g
n →∞
Asymptoty
1) Pionowa – Prostą x= x0 nazywamy asymptotą lewostronną (prawostronną)
pionową funkcji y=f(x) je eli lim f ( x) = ±∞ ( lim f ( x) = ±∞ )
x → x0…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)