To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Damian Cetnarowicz. Notatka składa się z 3 stron.
Dodawanie modulo Dodawanie modulo polega na obliczaniu reszty z dzielenia sumy liczb. Przykład: w zbiorze zachodzi:
Dodawanie modulo można też określić dla liczb rzeczywistych, np. w geometrii suma dwóch kątów skierowanych ma miarę równą sumie ich miar modulo .
mod5 0 1 2 3 4 0 0
1
2
3
4
1 1
2
3
4
0
2 2
3
4
0
1
3 3
4
0
1
2
4 4
0
1
2
3
II. Właściwości działań Działanie „ ◦ ” określone w zbiorze A nazywamy: przemiennym , jeśli ∀ a , b ∈ A a ◦ b = b ◦ a łącznym , jeśli ∀ a , b , c ∈ A ( a ◦ b ) ◦ c = a ◦ ( b ◦ c ) Element e nazywa się elementem neutralnym działania „ ◦ ”, jeśli ∀ a ∈ A a ◦ e = e ◦ a = a Element b nazywa się elementem odwrotnym do elementu a przy działaniu „ ◦ ” i oznacza np. przez a _ lub a − 1 , jeśli a ◦ b = b ◦ a = e Adam III. Grupa Zbior G , a ściślej zestaw ( G , ・ ) , w ktorym jest określone jedno działanie nazywa się grupą o ile są spełnione następujące warunki: dla dowolnych elementow a , b , c ∈ G działanie jest łączne, tzn. zachodzi rowność ( a ・ b ) ・ c = a ・ ( b ・ c ) w G istnieje element neutralny e , tzn. dla każdego a ∈ G są spełnione rowności a ・ e = e ・ a = a dla każdego elementu a ∈ G istnieje element odwrotny a _ ∈ G taki, że a ・ a ´ = a ´ ・ a = e Adam Własności grupy:
Aksjomat 1: /\ x 1 Δ(x 2 Δx 3 ) = ( x 1 Δx 2 ) Δx 3 ← łączność
x 1 ,x 2 ,x 3 Aksjomat 2: \/ /\ x Δe = e Δx = x ← element neutralny
e є x x є X
Aksjomat 3: \/ /\ x Δx' = x'Δx = e ← element przeciwny
x є X x' є x
(…)
…,
mnożenie jest przemienne,
w zbiorze A istnieje element neutralny dla mnożenia, czyli 1,
∀a∈A\{0}∃a−1∈A a ・ a−1 = a−1 ・ a = 1 .
Przykład
Zbior liczb całkowitych z dodawaniem i mnożeniem tworzy pierścień.
Zbiory liczb wymiernych, rzeczywistych i zespolonych tworzą ciała z tymi
działaniami.
Adam Dąbrowski (Politechnika Poznańska) Algebra 23
V. Permutacje
Permutacja w algebrze to wzajemnie jednoznaczne przekształcenie
pewnego zbioru na siebie. Najczęściej ten termin jest używany
w odniesieniu do zbiorow skończonych.
Wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zbioru A = {a1, a2, . . . , an} na
siebie, p : A → A, nazywa się permutacją p tego zbioru.
Permutację przyporządkowującą elementowi ak , k = 1, 2, . . . , n, element
aik , ik = 1, 2, . . . , n, co zapisujemy aik = p(ak ), oznaczamy symbolicznie:
lub prościej…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)