DYNAMIKA RUCHU OBROTOWEGO 1.Specyfika ruchu obrotowego Z ruchem obrotowym spotykamy się równie często jak z ruchem postępowym - zaczynając od otwierania drzwi, poprzez obracające się koła rowerów, samochodów czy pociągów, kręcące się wirniki silników elektrycznych, wirujące śmigła samolotów i helikopterów... aż po ruch planet i innych ciał niebieskich. Ruch obrotowy posiada szereg specyficznych cech zasługujących na uwagę i wyjaśnienie. Dlaczego rower przewraca się kiedy stoi, a zachowuje pozycję pionową, kiedy jest w ruchu? Dlaczego baletnica na lodzie podnosi w górę ręce by kręcić piruety? Po co w helikopterach instaluje się śmigło ustawione pionowo? Czy Ziemia zużywa energię, gdy kręci się wokół Słońca? Fot.5.1. Ruch śmigła samolotu, to jeden z wielu przykładów ruchu obrotowego. Powiedzieliśmy w lekcji trzeciej, że siły są przyczyną zmiany stanu ruchu ciał. Zmiana ta zależna jest nie tylko od samej wartości działającej siły, ale także od miejsca jej przyłożenia oraz kierunku jej działania. Rysunek 5.1. pokazuje cztery przykłady działania na drzwi tą samą siłą. W przypadkach i działająca siła nie spowoduje ruchu drzwi. W przypadku potrzebne jest przyłożenie znacznej siły. Najłatwiej poruszyć drzwi przykładając siłę w pobliżu punktu i tam właśnie instaluje się klamki. Rys. 5.1. Skutek działania siły wywieranej na drzwi zależny jest od miejsca jej przyłożenia i kierunku jej działania.
Ten prosty przykład ilustruje specyficzne cechy ruchu obrotowego. Ruch odbywa się wokół określonej prostej, zwanej osią obrotu. Widzimy, że ważną rolę odgrywa odległość punktu przyłożenia siły od tej osi. Prędkość i przyspieszenie punktów poruszających się ruchem obrotowym też są zależne od odległości od osi obrotu, nie są więc jednakowe dla wszystkich punktów. Jak więc formułować równania dynamiki, gdy działa jedna siła, a przyspieszenia są różne? Wspólny jest jednak kąt obrotu. Gdyby więc zamiast przemieszczenia liniowego rozważać przemieszczenie kątowe, opis byłby o wiele prostszy. Widać, że celowe jest wprowadzenie wielkości specyficznych dla ruchu obrotowego i dla nich formułować równania dynamiki. To właśnie będzie przedmiotem lekcji, którą rozpoczynamy. Powiedzieliśmy już, że w ruchu obrotowym wszystkie punkty poruszającego się ciała zataczają okręgi, których środki leżą na osi obrotu. Oś ta nie musi jednak zachowywać stałego położenia w czasie ruchu; może zmieniać swą orientację i może się przesuwać. Bardzo często mamy więc do czynienia z kombinacją ruchu postępowego i obrotowego. W lekcji trzeciej dowiedzieliśmy się, że ruch postępowy układu punktów materialnych możemy opisać zakładając, że wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych działa na jeden punkt, którym jest środek masy układu. W czasie ruchu postępowego ciało może wykonywać także ruch obrotowy. Możemy jednak oddzielić ruch postępowy od obrotowego opisując ruch postępowy środka masy. Pozostaje wtedy tylko opis ruchu obrotowego.
(…)
… w przestrzeni. Moment siły przyłożonej w punkcie , określony względem punktu , jest iloczynem wektorowym promienia wodzącego mającego początek w punkcie i siły , (5.7)
Na rysunku 5.3 kolorem kremowym zaznaczona jest płaszczyzna wyznaczona przez wektory i . Zgodnie z definicją iloczynu wektorowego, wektor momentu siły jest prostopadły do tej płaszczyzny. Zwrot tego wektora określony jest przez regułę śruby…
… bezwładności, odgrywa zasadniczą rolę w opisie ruchu obrotowego i będzie omawiana szczegółowo w dalszej części tej lekcji Analogicznie określa się wektor momentu pędu. Jest on równy iloczynowi wektorowemu promienia wodzącego i pędu ciała. (5.13)
4.Równanie Newtona ruchu obrotowego
Konstrukcje geometryczne nakreślone dla wektora momentu siły, możemy formalnie zastosować i dla wektora momentu pędu wstawiając…
… (5.15) Widzimy, że lewa strona tego równania jest znanym nam już momentem siły. Dla znalezienia znaczenia fizycznego prawej strony obliczmy pochodną względem czasu momentu pędu. (5.16) Zauważamy natychmiast, że pierwszy człon po prawej stronie tego wzoru równy jest zeru. Wynika to z własności iloczynu wektorowego. Pochodna wektora promienia wodzącego względem czasu, to z definicji wektor prędkości…
… obrotów wykonanych przez ciało w czasie jednej sekundy, odwrotność okresu
przyspieszenie kątowe pochodna prędkości kątowej względem czasu
ruch obrotowy ruch, w którym wszystkie punkty danego ciała poruszają się po okręgach, których środki znajdują się na jednej prostej zwanej osią obrotu. moment siły (względem danego punktu) iloczyn wektorowy promienia wodzącego mającego początek w danym punkcie i siły moment pędu (punktu materialnego względem danego punktu) iloczyn wektorowy promienia wodzącego i pędu punktu materialnego ramię siły składowa promienia wodzącego prostopadła do linii działania siły
moment bezwładności dla punktu materialnego iloczyn masy przez kwadrat odległości od osi obrotu, dla układu punktów - suma momentów bezwładności dla wszystkich punktów
druga zasada dynamiki ruchu obrotowego…
… czasu. Związek ten jest zwany drugą zasadą dynamiki ruchu obrotowego. Zwróćmy uwagę, że równanie (5.18) będzie słuszne tylko w układzie inercjalnym, bowiem korzystaliśmy przy jego wyprowadzeniu z drugiej zasady dynamiki; nie będzie natomiast słuszny w układzie obracającym się.
5. Energia kinetyczna
Pamiętamy, że energia kinetyczna punktu materialnego równa jest połowie iloczynu jego masy przez kwadrat…
… się z osią obrotu. Zwrot wektora zgodny jest z regułą śruby prawoskrętnej. Przy zmianie kierunku ruchu obrotowego zwrot tego wektora zmieni się na przeciwny. Jeżeli prędkość kątowa zachowuje stałą wartość, to w ruchu tym możemy wyrazić moduł prędkości kątowej jako gdzie jest kątem obrotu wykonanym w czasie t. Jednostką prędkości kątowej jest radian na sekundę.
Ruch obrotowy ze stałą prędkością kątową…
… prostej zwanej osią obrotu
prędkość kątowa wielkość wektorowa, której wartość równa jest pochodnej przemieszczenia kątowego względem czasu częstość zwana też prędkością kątową, częstością kołową lub pulsacją; pochodna przemieszczenia kątowego względem czasu (kąt zakreślony w jednostce czasu przez ciało będące w ruchu obrotowym) okres czas, w którym ciało wykonuje jeden pełny obrót
częstotliwość liczba…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)