ćwiczenia - macierze

Nasza ocena:

3
Pobrań: 42
Wyświetleń: 560
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
ćwiczenia - macierze - strona 1 ćwiczenia - macierze - strona 2 ćwiczenia - macierze - strona 3

Fragment notatki:

2. Macierze
Niech . Zbiór zawierający liczb , gdzie , , zapisanych w postaci tablicy prostokątnej
nazywamy macierzą o wymiarach (macierzą o wierszach i kolumnach. Liczby nazywamy elementami macierzy.
Macierz można też oznaczać: , , , .
Macierz jest macierzą prostokątną o wymiarach . Jeżeli , to piszemy i mówimy, że jest macierzą kwadratową stopnia .
Przykład
Macierz
jest macierzą prostokątną o wymiarach . Macierz
jest macierzą kwadratową stopnia trzeciego.
Ciąg elementów
nazywamy i-tym wierszem macierzy ( ), natomiast ciąg elementów
nazywamy j-tą kolumną macierzy ( ).
Macierz złożoną z jednej kolumny nazywamy wektorem kolumnowym, a macierz złożoną z jednego wiersza
nazywamy wektorem wierszowym.
Macierze stanowią wygodny sposób zapisywania informacji statystycznych i planistycznych.
Przykład
Planowanie zaopatrzenia materiałowo-technicznego w przedsiębiorstwie przemysłowym opiera się na systemie planistycznym w postaci norm zużycia materiałów. Przedsiębiorstwo wytwarza dwa wyroby gotowe i , do których wytworzenia zużywane są surowce , , . System norm przedstawia tablica
Surowiec
Jednostka
Norma zużycia na jednostkę
wyrobu gotowego
kg
1
3
m2 5
3
l
4
1
Powyższą tablicę możemy zapisać w postaci macierzy
zwanej macierzą norm zużycia surowców przy produkcji wyrobów. Jest to macierz prostokątna o wymiarach .
Macierz, której wszystkie elementy są zerami, nazywamy macierzą zerową.
, .
Macierz kwadratowa, w której , gdy nazywamy macierzą diagonalną (przekątniową).
.
Macierz diagonalną, w której dla , nazywamy macierzą jednostkową.
.
Macierz, którą otrzymujemy z danej macierzy przez zamianę wierszy na kolumny, z zachowaniem ich kolejności, nazywamy macierzą transponowaną (przestawioną) i oznaczamy . Operację tworzenia macierzy transponowanej z danej macierzy nazywamy transponowaniem.
, ,
, Zauważmy, że . Ponadto
.
Jeżeli dla macierzy kwadratowej stopnia n, spełniony jest warunek

(…)

….
Niech i będą macierzami o wymiarze . Macierz o wymiarze , nazywamy sumą macierzy i , co zapisujemy , jeżeli
( , ).
Przykłady
,
.
Mnożenie macierzy przez liczbę.
Niech będzie macierzą o wymiarze oraz . Macierz o wymiarze , nazywamy iloczynem macierzy przez liczbę , co zapisujemy , jeżeli
( , ).
Przykład
.
Odejmowanie macierzy.
Niech i będą macierzami o wymiarze . Macierz o wymiarze , nazywamy różnicą macierzy i , co zapisujemy , jeżeli
( , ).
Można zauważyć, że
.
Mnożenie macierzy.
Niech będzie macierzą o wymiarach , a macierzą o wymiarach . Macierz o wymiarze , nazywamy iloczynem macierzy i , co zapisujemy , jeżeli
( , ).
Przykład
= .
Uwaga
W powyższym przykładzie , czyli , , , czyli , . Wobec tego .
Iloczyn jest nieokreślony.
Uwaga
Jeżeli jest macierzą kwadratową stopnia , to , , ..., . Operacje elementarne…
… na kolumny, z zachowaniem ich kolejności, nazywamy macierzą transponowaną (przestawioną) i oznaczamy . Operację tworzenia macierzy transponowanej z danej macierzy nazywamy transponowaniem.
, ,
, Zauważmy, że . Ponadto
.
Jeżeli dla macierzy kwadratowej stopnia n, spełniony jest warunek , to macierz nazywamy macierzą symetryczną.
Macierz
jest macierzą symetryczną stopnia drugiego.
Dodawanie macierzy…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz