Funkcje
Niech dane będą zbiory niepuste , .
Definicja 1.1 Funkcją określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu .
Funkcję taką oznaczamy przez , lub dokładniej albo tradycyjnie , gdzie .
W dalszym ciągu rozważać będziemy funkcje liczbowo-liczbowe, tzn. takie, że .
Definicja 1.2 Dziedziną (polem) funkcji nazywamy zbiór .
Przykłady
, , ,
, , ,
, , ,
, ,
, .
Definicja 1.3 Przeciwdziedziną (zbiorem wartości) funkcji nazywamy zbiór .
Przykłady
, , ,
, , ,
, , ,
, ,
, .
Definicja 1.4 Funkcja jest rosnąca, jeżeli
.
Definicja 1.5 Funkcja jest malejąca, jeżeli
.
Definicja 1.6 Funkcja jest stała, jeżeli
.
Definicja 1.7 Funkcja jest niemalejąca, jeżeli
.
Definicja 1.8 Funkcja jest nierosnąca, jeżeli
.
Przykłady
funkcja jest rosnąca w zbiorze ,
funkcja jest malejąca w zbiorze ,
funkcja jest niemalejąca w zbiorze ,
funkcja jest nierosnąca w zbiorze ,
Definicja 1.9 Funkcja jest ograniczona z dołu, jeżeli
.
Definicja 1.10 Funkcja jest ograniczona z góry, jeżeli
.
Definicja 1.11 Funkcja jest ograniczona, jeżeli jest ograniczona z dołu oraz jest ograniczona z góry, tzn.
.
Przykłady
funkcja jest ograniczona, , ,
funkcja jest ograniczona z dołu, , nie istnieje,
funkcja jest ograniczona z góry, , nie istnieje
funkcja jest nieograniczona, nie istnieją.
Twierdzenie 1.1
Funkcja jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy
.
Uwaga 1.1 Nierówność jest równoważna nierówności .
Funkcja jest ograniczona w zbiorze , gdyż
.
Uwaga 1.2
Podane wyżej definicje, dotyczące monotoniczności i ograniczoności funkcji , można sformułować również dla dowolnego zbioru
(…)
… . Jeżeli istnieje najmniejszy dodatni okres funkcji , to nazywamy go okresem podstawowym i oznaczamy symbolem .
Przykłady
funkcja jest okresowa, , ,
funkcja jest okresowa, , .
Definicja 1.15
Niech , , . Złożeniem (superpozycją) funkcji i nazywamy funkcję taką, że
.
Złożenie funkcji i zapisujemy także .
Uwaga Złożenie można także określać w przypadku, gdy , , przy czym .
Przykład
Niech , , czyli , ,
, , czyli , .
Wtedy , .
Niech , , czyli , ,
, , czyli , .
Wtedy , .
Definicja 1.16
Niech , gdzie . Funkcję taką, że
,
nazywamy funkcją odwrotną do funkcji i oznaczamy symbolem .
Przykład
Niech , . Weźmy funkcję , . Łatwo sprawdzić, że
,
,
czyli .
Twierdzenie 1.2
Jeżeli funkcja jest ściśle monotoniczna (rosnąca lub malejąca), to posiada funkcję odwrotną.
Przykłady
Funkcja jest rosnąca w przedziale , a więc posiada funkcję odwrotną, którą oznaczamy .
Funkcja jest rosnąca…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)