Rachunek różniczkowy funkcji jednej i wielu zmiennych
1. Co rozumiemy przez granicę funkcji w punkcie ?
Liczbę nazywa się granicą funkcji w punkcie wtedy i tylko wtedy, jeżeli dla każdej liczby istnieje taka liczba , że dla każdego spełniającego warunek spełniona jest nierówność:
2. Podać definicję ciągłości funkcji w punkcie
Funkcję nazywa się ciągłą w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy granica funkcji w punkcie = wartości funkcji w tym punkcie 3. Kiedy mówimy, że funkcja przekształca zbiór na zbiór ?
Funkcja przekształca zbiór na zbiór , gdy w zbiorze została określona funkcja, której wartościami są elementy zbioru , czyli gdy zachodzi równość 4. Kiedy funkcja jest różnowartościowa? Podaj przykład funkcji nieróżnowartościowej Funkcja różnowartościowa to taka, której każdy element przeciwdziedziny przyjmowany jest co najwyżej raz
Funkcja nieróżnowartościowa:
5. Podać definicję funkcji malejącej. Podaj przykład funkcji malejącej Funkcję nazywamy malejącą w zbiorze , jeśli dla dowolnych argumentów , ∈ prawdziwa jest implikacja
6. Podać definicję funkcji rosnącej. Podaj przykład funkcji rosnącej
Funkcję nazywamy rosnącą w zbiorze , jeśli dla dowolnych argumentów , ∈ prawdziwa jest implikacja
7. Podać definicję funkcji okresowej. Podaj przykład funkcji okresowej
Mówimy, że funkcja jest funkcją okresową w okresie , jeśli istnieje taka liczba , która dodana do dowolnej dopuszczalnej wartości argumentu nie zmienia wartości funkcji, tzn. . Najmniejszą liczbę dodaną o tej własności (jeżeli istnieje) nazywamy okresem podstawowym (zasadniczym) funkcji. Przykładem funkcji okresowych są funkcje trygonometryczne oraz funkcja stała.
8. Podać definicję funkcji parzystej. Podaj przykład funkcji parzystej
Funkcję nazywamy parzystą, jeśli dla każdego należącego do dziedziny funkcji, również należy do dziedziny oraz . Funkcja jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest symetryczny względem zera oraz oś jest osią symetrii wykresu tej funkcji.
Przykład funkcji parzystej: 9. Podać definicję funkcji nieparzystej. Podaj przykład funkcji nieparzystej
Funkcję nazywamy nieparzystą, jeśli dla każdego należącego do dziedziny funkcji, również należy do dziedziny oraz . Funkcja jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór
(…)
… jest warunkiem koniecznym na to, aby funkcja różniczkowalna w punkcie miała w tym punkcie ekstremum.
23. Sformułuj warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji związany ze znakiem pierwszej pochodnej
Jeżeli , a ponad to: zmienia znak z ujemnego na dodatki, gdy malejąc przechodzi przez , to w punkcie funkcja ma minimum
zmienia znak z dodatniego na ujemny, gdy rosnąc przechodzi przez , to w punkcie…
… ona powyżej swoich stycznych.
Jeśli w pewnym przedziale , to funkcja w tym przedziale jest wypukła.
25. Kiedy funkcja może (ale nie musi) mieć punkt przegięcia w punkcie (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)
Warunek konieczny punktu przegięcia:
albo nie istnieje w dziedzinie funkcji
26. Podaj regułę de L'Hospitala
Twierdzenie de L'Hospitala inaczej reguła de L'Hospitala pozwala wyliczyć granice…
… definicję funkcji odwrotnej. Podaj parę funkcji wzajemnie odwrotnych
Funkcję nazywamy funkcją odwrotną do funkcji , jeżeli , i dla każdego zachodzi równość: . Funkcję odwrotną do oznaczamy .
Niech będzie funkcją różnowartościową odwracającą zbiór na zbiór .
, gdzie Przykład: funkcja logarytmiczna jest odwrotna do funkcji wykładniczej.
13. Podaj przykład dowolnej funkcji cyklometrycznej (kołowej…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)