To tylko jedna z 6 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
POCHODNE FUNKCJI
Narzędzie służące do badania przebiegu zmienności wartości funkcji, określonej na pewnym przedziale o wartościach rzeczywistych, przy zmianie jej argumentów. Z punktu widzenia analizy funkcjonalnej, pochodna jest operatorem liniowym. Pojęcie pochodnej było uogólniane, na przykład na przestrzenie unormowane. Proces odnajdywania pochodnej nazywamy różniczkowaniem, a dział matematyki zajmujący się pochodnymi, ich własnościami i zastosowaniami rachunkiem różniczkowym.
Definicja Niech będzie przedziałem otwartym i funkcja .
Jeśli dla pewnego istnieje skończona granica ilorazu różnicowego
to mówimy, że jest różniczkowalna w punkcie . Z kolei punkt nazywamy punktem różniczkowalności funkcji .
Wartość powyższej granicy nazywamy pochodną funkcji w punkcie i oznaczamy symbolem . Czasem używa się też symboli:
Stosowane są również inne oznaczenia.
Przykład
Niech W oparciu o definicję wyznaczymy pochodną funkcji potęgowej w dowolnym punkcie . Z punktu widzenia geometrii, różniczkowalność w punkcie oznacza istnienie stycznej do wykresu w punkcie nierównoległej do osi , zaś wartość jest współczynnikiem kierunkowym tej prostej (w prostokątnym układzie współrzędnych tangensem jej kąta nachylenia do osi ).
Pochodną funkcji na przedziale można uważać za liczbową charakterystykę szybkości wzrostu danej funkcji (duża pochodna - stromy wykres, niewielka pochodna - wykres łagodnie wznoszący się, ujemna pochodna - wykres opadający itp.).
Różniczkowalność w zbiorze
Jeśli dziedziną funkcji jest zbiór otwarty i jeśli ma pochodną we wszystkich punktach tego przedziału, to nazywamy funkcją różniczkowalną na zbiorze , a funkcję , która każdej liczbie przyporządkowuje liczbę , nazywa się funkcją pochodnej (lub krócej pochodną) funkcji na tym zbiorze.
Tak więc pochodna funkcji w punkcie jest liczbą, natomiast pochodna funkcji w zbiorze jest funkcją.
Gdy funkcja opisuje pewien proces fizyczny, pochodna funkcji charakteryzuje intensywność tego procesu. Na przykład, jeśli jest funkcją drogi od czasu, to jej pochodna jest prędkością chwilową. Jeśli jest funkcją prędkości od czasu, to jest przyspieszeniem.
Druga i dalsze pochodne
Jeżeli pochodna funkcji jest różniczkowalna, czyli sama posiada pochodną, to oznacza się ją przez i nazywa pochodną drugiego rzędu funkcji lub prościej drugą pochodną funkcji .
Podobnie określa się trzecią pochodną oraz kolejne. Jednak ze względu na czytelność zapisu apostrofami oznacza się jedynie pochodne do trzeciej włącznie (czasem tylko do drugiej). Dalsze pochodne oznacza się liczbami rzymskimi:
(…)
… Jeżeli funkcja w zbiorze otwartym ma pochodnych i n-ta pochodna jest ciągła na , to nazywamy funkcją klasy .
WŁASNOŚCI POCHODNYCH
Pochodna funkcji stałej równa jest zeru.
Funkcja różniczkowalna w jest w tym punkcie ciągła.
Podstawowe wzory
Niech będą różniczkowalne na zbiorze otwartym , zaś będzie ustalonym skalarem (tzw. stałą). Zachodzą wtedy poniższe wzory:
Iloraz jest funkcją różniczkowalną w zbiorze…
… zmienia znak jest punktem krytycznym funkcji,
wypukłość funkcji - o ile w danym przedziale istnieje druga pochodna i jest ona nieujemna, to funkcja jest wypukła ("wypukła w dół"), gdy jest niedodatnia, to funkcja jest wklęsła ("wypukła w górę"),
pierwiastki wielokrotne wielomianu bada się za pomocą miejsc zerowych kolejnych pochodnych (sprawdzenie dany punkt jest punktem przegięcia, czy ekstremum…
….
Zastosowania
Pochodne funkcji mają szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach. Badając pewne nieskomplikowane obliczeniowo własności pochodnej otrzymać można informacje o bardziej złożonych własnościach funkcji pierwotnej. Przykładami mogą być:
matematyka - badania przebiegu zmienności funkcji, w tym szukanie jej ekstremów: monotoniczność funkcji - jeżeli w danym przedziale pochodna funkcji poza skończoną…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)