Całki powierzchniowe

Z jej treści możemy dowiedzieć się więcej na takie tematy, jak: powierzchnie, wektor normalny, powierzchnia gładka. Notatka jest opatrzona rysunkami i wykresami.

CAŁKI POWIERZCHNIOWE
Powierzchnie
Powierzchnia jest to zbiór punktów (x,y,z) spełniających pewne równanie, które jest klasy i ma jedną z trzech postaci:
* postać uwikłana: ** postać jawna: *** postać parametryczna: - obszar w Definicja
Wektorem normalnym do powierzchni S w punkcie nazywamy niezerowy wektor prostopadły do wszystkich krzywych leżących na S i przechodzących przez .
Jeśli S zadana jest w postaci:
* uwikłanej, to ,
gdzie M jest punktem zwyczajnym, tzn. gradient w tym punkcie nie zeruje się, gradF(M).
** jawnej, to przekształcając równanie otrzymujemy postać uwikłaną
gdzie
i korzystając ze wzoru na wektor normalny w przypadku * dostajemy
*** parametrycznej, to w punkcie jednokrotnym powierzchni S, tzn. punkcie odpowiadającym tylko jednej parze wektor normalny zadany jest wzorem
przy założeniu, że wyznacznik .
Jeśli dany jest wektor normalny do powierzchni S, to płaszczyzna styczna do powierzchni S w punkcie jest postaci
.
Zatem w przypadku *
.
Natomiast w przypadku **
,
stąd
.
Definicja
Powierzchnia gładka jest to powierzchnia, która w każdym swoim punkcie ma płaszczyznę styczną, która zmienia się w sposób ciągły przy zmianie punktu styczności.
Warunkiem wystarczającym gładkości powierzchni jest by równanie określające powierzchnię było klasy oraz w przypadku, gdy powierzchnia jest zadana w postaci uwikłanej - by nie zawierała punktów osobliwych oraz w przypadku, gdy jest określona w postaci parametrycznej - by nie zawierała punktów wielokrotnych i .
Przykład
Równanie lub równoważne określa powierzchnię stożkową.
Istotnie, jeśli , to i przekrój płaszczyzną jest okręgiem o środku w punkcie i promieniu . Natomiast jeśli , to
zatem przekrój powierzchni płaszczyzną jest dwoma prostymi i .
Widać, że powyższa powierzchnia nie jest gładka, ponieważ w punkcie nie istnieje płaszczyzna styczna. W istocie, dla funkcji .
równanie jest klasy oraz
.
Ponieważ
zatem punkt jest punktem osobliwym.
Definicja
Płatem nazywamy figurę określoną równaniem , D - domknięty obszar jednospójny, .
Definicja
Płat nazywamy gładkim, gdy .
Definicja
Powierzchnia regularna jest to powierzchnia, którą można podzielić na skończenie wiele płatów gładkich.
Przykład
- powierzchnia regularna
... zobacz całą notatkę