SNM -
Elementy analizy wektorowej
-1
Całki krzywoliniowe
Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej)
• Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I → R3 , gdzie I oznacza przedział na prostej, co zapisujemy
r(t) = [x(t), y(t), z(t)] ,
gdzie t ∈ I.
• Jeżeli funkcje x, y, z mają ciągłe pochodne na przedziale I, to mówimy, że funkcja wektorowa r jest różniczkowalna w sposób ciągły na I, a pochodna określona jest wzorem
r (t) = [x (t), y (t), z (t)] .
Równania parametryczne ważniejszych łuków
• Odcinek w przestrzeni o końcach A(x1 , y1 , z1 ), B(x2 , y2 , z2 ) ma przedstawienie parametryczne
x(t) = x1 + (x2 − x1 ) t ,
t ∈ .
Γ : y(t) = y1 + (y2 − y1 ) t ,
z(t) = z1 + (z2 − z1 ) t ,
• Okrąg o środku S(x0 , y0 ) i promieniu R ma przedstawienie parametryczne
Γ:
x(t) = x0 + R cos t ,
y(t) = y0 + R sin t ,
t ∈ .
• Elipsa o środku S(x0 , y0 ) i półosiach a, b ma przedstawienie parametryczne
Γ:
x(t) = x0 + a cos t ,
y(t) = y0 + b sin t ,
t ∈ .
• Linia śrubowa o skoku h, nawinięta na walec (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = R2 ma przedstawienie
parametryczne
x(t) = x0 + R cos t ,
t∈R.
Γ : y(t) = y0 + R sin t ,
h
z(t) =
t
2π
SNM -
Elementy analizy wektorowej
Twierdzenie (długość łuku)
Niech Γ = {(x(t), y(t), z(t)) : α
t
Wtedy jego długość wyraża się wzorem
-2
β} będzie łukiem zwykłym, gładkim w przestrzeni.
β
|Γ| =
[x (t)]2 + [y (t)]2 + [z (t)]2 dt .
α
Całka krzywoliniowa niezorientowana.
Definicja (całka krzywoliniowa niezorientowana)
Niech Γ = {(x(t), y(t)) : t ∈} będzie łukiem gładkim na płaszczyźnie. Wprowadźmy
oznaczenia:
• P = {t0 , t1 , . . . , tn } - podział odcinka na n ∈ N odcinków;
• δ(P ) = max{∆tk : 1
k
n} - średnica podziału P ;
• ∆lk - długość łuku Ak−1 Ak , gdzie 1
k
n.
Niech f będzie funkcją ograniczoną na łuku gładkim Γ.
Całkę krzywoliniową niezorientowaną z funkcji f po łuku Γ definiujemy wzorem
def
f (x, y) dl =
Γ
n
∗
f (x∗ , yk )∆lk ,
k
lim
δ(P )→0
k=1
o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje i nie zależy od sposobu podziału P
∗
odcinka ani od sposobu wyboru zbioru punktów pośrednich (x∗ , yk ).
k
Uwaga
Całka krzywoliniowa nie zależy od parametryzacji łuku.
SNM -
Elementy analizy wektorowej
-3
Zamiana całki krzywoliniowej niezorientowanej na całkę pojedynczą
Niech f będzie funkcją ciągłą na łuku gładkim Γ. Wtedy gdy
• Γ = {y = y(x) : a
x
b} mamy wzór
b
f (x, y(x)) 1 + [y (x)]2 dx ;
f (x, y) dl =
a
Γ
• Γ = {(x(t), y(t)) : t ∈} mamy wzór
β
f (x(t), y(t)) [x (t)]2 + [y (t)]2 dt ;
f (x, y) dl =
α
Γ
• Γ = {(x(t), y(t), z(t)) : t ∈} mamy wzór
β
f (x(t), y(t), z(t)) [x (t)]2 + [y (t)]2 + [z (t)]2 dt .
f (x, y, z) dl =
α
Γ
Zastosowania
• Długość łuku.
• Pole płata powierzchni bocznej walca.
• Masa łuku.
• Momenty statyczne względem osi układu łuku materialnego.
• Momenty statyczne względem płaszczyzn układu łuku materialnego.
• Współrzędne środka masy łuku materialnego.
• Momenty
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (1)
Michał napisał(a):
2016-07-18 15:54:53
Wykład zawiera samą teorię. Brak w nim choćby jednego przykładu.