To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
1 Ćwiczenie 3 Badanie drgań wahadeł sprzężonych I. Zagadnienia do samodzielnego opracowania 1. Ruch harmoniczny prosty. 2. Wahadło matematyczne i fizyczne. Moment kierujący wahadła. 3. Wahadła sprzężone. Moment sprzęgający. 4. Dudnienie. II. Wprowadzenie Zjawisko dudnienia Gdy jeden układ drgający (oscylator) podlega dwóm drganiom skierowanym wzdłuż tej samej linii (tzn. odbywającym się w jednym wymiarze np. wzdłuż osi y ), to wypadkowe wychylenie y można wyznaczyć jako sumę dwóch wychyleń 1 y i 2 y dla obu drgań składowych. Jeżeli t y y 1 max 1 1 sin ω = , t y y 2 max 2 2 sin ω = to t y t y y y y 2 max 2 1 max 1 2 1 sin sin ω ω + = + = (1) Interesujące zjawisko zachodzi, gdy częstości obu drgań składowych są podobne, tzn. 2 1 ω ω ≈ . Można wtedy wyrażenie na wypadkowe wychylenie przekształcić następująco: = + = t y t y y 2 max 2 1 max 1 sin sin ω ω ( ) ( ) = − + + = t y y t t y 2 max 1 max 2 2 1 max 1 sin sin sin ω ω ω ( ) t y y t t y 2 max 1 max 2 2 1 2 1 max 1 sin 2 sin 2 cos 2 ω ω ω ω ω − + + − = (2) Wychylenie y można traktować jako sumę dwóch drgań: jedno o częstotliwości 2 ω i amplitudzie max 1 max 2 y y − , zanikające, gdy max 2 max 1 y y = ; oraz drugie opisane wyrażeniem: t t y 2 sin 2 cos 2 2 1 2 1 max 1 ω ω ω ω + − Wyrażenie to opisuje drgania z częstością 2 2 1 ω ω ω + = , równą średniej arytmetycznej częstości drgań składowych, oraz z amplitudą zmienną w czasie t y y 2 cos 2 2 1 max 1 max ω ω − = . Częstość zmian amplitudy nazywana jest częstością dudnień i wynosi 2 1 ω ω ω − = d . Przebieg takich drgań przedstawiony jest na rys. 1. Okres drgań odbywających się z częstością 2 2 1 ω ω ω + = jest równy: 2 1 4 2 ω ω π ω π + = = T Ponieważ 2 1 2 1 ω ω ω ω +
(…)
… energii od jednego wahadła do drugiego.
Rys. 2. Wahadła sprzężone
Urządzeniem tym może być np. element sprężysty doczepiony do obu wahadeł.
Dzięki niemu pojawia się dodatkowy moment siły działający na każde z wahadeł,
proporcjonalny do długości rozciągniętej sprężyny, przy założeniu, że swobodna
długość sprężyny wynosi 0. Dlatego moment ten jest proporcjonalny do kąta
ϕ = ϕ1 − ϕ 2 między wahadłami i zależy od odległości d punktu zaczepienia siły
sprzęgającej od osi obrotu. Z trzeciej zasady dynamiki wynika, że te dodatkowe
momenty sił działające na jedno i drugie wahadło są sobie równe, co do wartości i
przeciwnie skierowane. W zestawie laboratoryjnym tego ćwiczenia idealna sprężyna o
zerowej długości została zastąpiona układem dwóch sprężyn tak, aby dalej spełniony
był warunek, że przy kącie między wahadłami ϕ = 0 moment siły sprzęgającej M s = 0 .
Oba dodatkowe momenty sił działające na pierwsze i drugie wahadło można
zapisać za pomocą zależności:
M s1 = − Ds (ϕ1 − ϕ 2 ) ,
M s 2 = − Ds (ϕ 2 − ϕ1 )
(3)
gdzie współczynnik Ds = Ds ( d ) jest nazywany momentem sprzęgającym, a ϕ 1 i ϕ 2
są kątami wychylenia wahadeł.
Po wstawieniu dodatkowych momentów sił M s do równań takich jak równanie:
2
d 2ϕ
D
ϕ =0
I
dt 2
opisujących ruch każdego wahadła oddzielnie,
różniczkowe o niewiadomych ϕ1 (t ) i ϕ 2 (t )
+
(4)
otrzymujemy
dwa
równania
+ D1ϕ1 + Ds (ϕ1 − ϕ 2 ) = 0
dt 2
(5)
d 2ϕ 2
I2
+ D2 ϕ 2 + Ds (ϕ 2 − ϕ1 ) = 0
dt 2
gdzie: I1 , I 2 - momenty bezwładności obu wahadeł względem osi obrotu,
D1 , D2 - momenty kierujące obu wahadeł.
Można wykazać, że nawet w przypadku, gdy częstości ω 0 obu wahadeł…
… liczonych względem osi obrotu wahadła: I = I p + I w .
2
We wzorach tych l oznacza długość pręta, r – promień podstawy walca, l’ –
odległość od punktu obrotu do środka walca, m p – masa pręta, mw – masa walca.
walca I w =
Obliczenia
1. Sprawdzić czy częstość kątowa dudnień jest równa różnicy częstości kątowych
odpowiednio pierwszego i drugiego drgania normalnego.
2. Obliczyć moment kierujący D pojedynczego…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)