To tylko jedna z 12 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
1 Ruch prosty harmoniczny (sprężyna, wahadło matematyczne i fizyczne) Drgania harmoniczne, są ruchem w którym położenie zmienia się w czasie jak sin, lub cos. Ciało wykonujące taki ruch nazywane jest oscylatorem harmonicznym. Drgania harmoniczne występują w układach w których po wychyleniu o od- ległość x, działa siłą zwrotna równa F = −kx . Gdzie k jest pewną stałą. Np. przy wychyleniu sprężyny o długość x mającej wsp. sprężystości k. zacznie działać siłą równą F = −kx . Zapiszmy równanie ruchu: d 2 x dt 2 m = F , zatem d 2 x dt 2 m = −kx Równanie to posiada ogólne rozwiązanie postaci x ( t ) = A sin( ωt + δ ) δ jest wychyleniem początkowym. A amplitudą, czyli wychyleniem maksymal- nym. ω = 2 π T , T jest okresem drgań. Podstawmy x ( t ), do równania dynamicznego Aω 2 sin( ωt + δ ) m = Ak sin( ωt + δ ) Po skróceniu: ω 2 = k m . Czyli T=2 π m k Rozpatrzmy funkcję x ( t ) = A sin ωt v = dx ( t ) dt = Aω cos ωt Aω = v 0- prędkość maksymalna a = dv ( t ) dt = −Aω 2 sin ωt a = −Aω 2- przyspieszenie maksymalne. 1 1.1 wahadło matematyczne Rysunek 1: Wychylamy wahadło o mały kąt α , przy małych kątach możemy założyć, że Fs działa wzdłuż x Fs = mg sin α = −mg x l Wobec czego k = mg l T = 2 π m k = 2 π l g 1.2 Wahadło fizyczne Mamy wahadło fizyczne o momencie bezwładności I względem osi obrotu. l jest odległością pomiędzy osią obrotu, a środkiem masy. Jeżeli odchylimy wahadło fizyczne o kąt α , powstanie moment równy M = −mgl sin α ≈ −mglα Otrzymujemy równanie ruchu, analogiczne do równania dla wahadła fizycznego. M = I = −Iω 2 α Wobec czego K = −ω 2, ω = K I Ponieważ K = mgl , to ω = mgl I . 2 Związek ruchu harmonicznego i ruch po okrę- gu Rzut punktu poruszającego się po okręgu, na oś x lub y jest ruchem drgającym harmonicznym. Dlatego zamiast rozpatrywać ruch drgający postaci sin ϕ , można używać funk- cji eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ - opisuje ona obrót wektora na płaszczyźnie zespolonej (cześć rzeczywista przedstawia rzut na oś X, a cześć urojona przedstawia rzut na oś Y). 2 Taki opis jest wygony w obliczeniach. 3 Energia kinetyczna, potencjalna i całkowita w ruchu drgającym Energia kinetyczna wynosi 1 2 mv 2 Ponieważ prędkość w ruchu drgającym wynosi v ( t ) = Aω cos ωt to energia ki- netyczna wynosi: Ek ( t ) = 1 2 mω
(…)
… adiabatycznym (p1 V1γ = p2 V2γ ) p ciśnienie V
M
objętość
R jest stałą gazową, M masą molową gazy. T temperaturą bezwzględną.
W ciałach stałych prędkość dana jest przez v
sprężystości, ρ to gęstość ośrodka.
7
C
ρ,
C jest współczynnikiem
12
Zasada Huygensa
Każdy punkt do którego dotarła fala, staje się źródłem nowej fali kulistej.
Np. Jeżeli mamy mały otwór do którego dobiega fala płaska, za otworem powstanie…
… którą trzeba nadać
ciału by krążył po orbicie ziemi.
Zatem siła grawitacji, musi być równa sile dośrodkowej. (w układzie związanym z ciałem oznacza równość przyspieszenia ziemskiego g z przyspieszeniem odśrodkowym)
m
Otrzymujemy równość mvorb = G M2
r
r
vorb =
GM
r
Minimalnym promieniem jest promień Ziemi R, otrzymujemy v1 =
GM
R
2. druga prędkość jest prędkością którą należy nadać ciału by odleciał…
…, potencjalna i całkowita w
ruchu drgającym
Energia kinetyczna wynosi 1 mv 2
2
Ponieważ prędkość w ruchu drgającym wynosi v(t) = Aω cos ωt to energia kinetyczna wynosi:
Ek (t) = 1 mω 2 A2 cos2 ωt
2
ponieważ k = mω 2 , to Ek (t) = 1 kA2 cos2 ωt
2
Podobnie jak w przypadku sprężyny gdzie F = −kx, energia potencjalna
2
ciała drgającego wynosi Ep = k x
2
2
x
Ep = 0 kxdx = x k, x(t) = A sin ωt
2
Więc Ep (t) = 1 kA2 sin2 ωt
2
Energia całkowita jest sumą energii potencjalnej i całkowitej E = Ep + Ek =
sin2 ωt + 1 kA2 cos2 ωt = 1 kA2
2
2
Ponieważ sin2 a + cos2 a = 1
Widzimy, że w ruchu drgającym całkowita energia jest stała. W czasie ruchu
energia potencjalna przechodzi w energię kinetyczną i na odwrót.
1
2
2 kA
4
Tłumienie w ruchu drgającym (logarytmiczny
dekrement tłumienia)
Tłumienie polega na istnieniu siły…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)