WYKŁAD 13
APROKSYMACJA ŚREDNIOKWADRATOWA WIELOMIANAMI
RADZAJE APROKSYMACJI
Aproksymacja jest działem analizy numerycznej zajmującym się najbardziej ogólnymi zagadnieniami
przybli ania funkcji, polegającymi na wyznaczaniu dla danej funkcji f ( x ) takich funkcji F(x),
które w określonym sensie najlepiej przybli ają funkcję f ( x ) .
Zadania aproksymacyjne mogą być formułowane bardzo ró nie, w zale ności od przyjętego sposobu
oszacowania błędów aproksymacji. Wyró nia się trzy rodzaje aproksymacji:
1) interpolacyjną,
2) jednostajną,
3) średniokwadratową.
Rys. 1
W przypadku aproksymacji interpolacyjnej, podobnie jak w zagadnieniu interpolacji, ądamy
spełnienia warunku, aby funkcja dana f ( x ) i funkcja szukana F ( x ) przyjmowały dokładnie te same
wartości na zbiorze z góry ustalonych punktów węzłowych (rys. 1). Warunek ten mo e być uzupełniony
warunkami wyra ającymi równość pochodnych w węzłach, je eli wartości pochodnych zostaną zadane.
Rys. 2
W przypadku aproksymacji jednostajnej funkcję f ( x ) przybli amy taką funkcją F ( x ), która daje
najmniejsze maksimum ró nicy między F ( x ), a f ( x ) w całym przedziale [a, b] - rys. 2
max F ( x) − f ( x) = min .
x ∈[a, b]
(1)
W przypadku aproksymacji średniokwadratowej jako miarę odchylenia funkcji F ( x ) od danej funkcji
f ( x ) przyjmujemy wielkość
b
S = ∫ [ F ( x ) − f ( x )] 2 d x ,
a
(2)
zwaną odchyleniem kwadratowym. Funkcja aproksymująca F ( x) wyznaczana jest z warunku,
aby wartość wyra enia (2) była mo liwie najmniejsza. Geometrycznie warunek ten wyra a ądanie,
aby pole powierzchni między liniami reprezentującymi funkcję f ( x ) oraz funkcję F ( x) było minimalne.
Zagadnienia aproksymacji jednostajnej i aproksymacji średniokwadratowej są równie formułowane dla
funkcji określonych na dyskretnym zbiorze argumentów. Dla takich funkcji warunek (1) dotyczący
aproksymacji jednostajnej zmienia się w ten sposób, e zamiast ciągłej zmiennej niezale nej x występuje
w nim zmienna dyskretna xi
max F ( xi ) − f ( xi ) = min . (i = 0, 1, ..., n),
(3)
a w warunku (2) na minimum odchylenia kwadratowego całka jest zastępowana sumą
n
S = ∑ [ F ( x i ) − f ( x i ) ] = min .
i =0
2
(4)
Aproksymacja średniokwadratowa funkcji określonych na dyskretnym zbiorze argumentów jest
najczęściej wykorzystywana w zastosowaniach praktycznych do wygładzania danych eksperymentalnych
i wyników obliczeń ze względu na mniej skomplikowane algorytmy jej realizacji numerycznej
w porównaniu z algorytmami aproksymacji jednostajnej i mo liwość uzyskiwania dobrych przybli eń
funkcji f ( x).
APROKSYMACJA ŚREDNIOKWADRATOWA
WIELOMIANAMI
W zadaniach aproksymacji średniokwadratowej wielomianami funkcji aproksymującej F ( x) wygodnie
jest poszukiwać - podobnie jak w zadaniu interpolacji - w postaci wielomianu uogólnionego.
m
F ( x) = ∑ a j ϕ j ( x) ,
(5)
j =0
Rozwa ymy najpierw aproksymację średniokwadratową funkcji y = f ( x ) określonej na dyskretnym
zbiorze argumentów. W tym przypadku współczynniki a j
( j =
(…)
… średniokwadratową za pomocą wielomianów
wy szych stopni mogą być zmniejszone przy wykorzystaniu wielomianów ortogonalnych.
Dwie dowolne funkcje ϕ( x) i ψ( x) nazywamy ortogonalnymi na zbiorze punktów: x0 , x1 ,..., xn , jeśli
n
∑ ϕ ( x ) ψ ( x ) = 0,
i
i
∑ ϕ ( x i ) > 0,
n
i=0
(12)
przy czym:
n
2
i =0
∑ψ
2
( xi ) > 0.
i =0
(13)
Niech zbiór wielomianów:
G0 ( x ), G1 ( x ), ..., Gm ( x ),
(14)
będzie danym układem wielomianów ortogonalnych na zbiorze: x0 , x1 , ..., xn , czyli
n
∑G
i =0
j
( x i ) Gk ( x i ) = 0 dla j ≠ k .
(15)
Po przedstawieniu wielomianu aproksymującego (11) w postaci kombinacji liniowej wielomianów
układu (14)
Q m ( x ) = b0 G0 ( x ) + b1 G1 ( x ) + ... + bm Gm ( x )
(16)
odchylenie kwadratowe (6) przyjmuje postać
2
m
S = ∑ ∑ b j G j ( xi ) − y i .
i =0 j =0
n
(17)
Podnosząc do kwadratu…
… ),
(7)
w którym wprowadzono skrócone oznaczenie
n
(ϕ, ψ) = ∑ ϕ ( xi ) ψ ( xi ) .
(8)
i=0
Układ równań (7) ma dokładnie jedno rozwiązanie dla liniowo-niezale nego układu funkcji: ϕ 0 ( x),
ϕ 1 ( x ), ..., ϕ m ( x ). Macierz współczynników układu (7) jest macierzą symetryczną i dodatnio określoną.
Dla układu funkcji bazowych tworzących ciąg wielomianów x j ( j = 0, 1, ..., m) układ równań (7)
przyjmie…
… = ∑sj
s j j = 0 s j i =0
j =0
m
(19)
Wynika stąd, e średnie odchylenie kwadratowe S osiąga swą najmniejszą wartość dla współczynników
bj =
cj
sj
( j = 0, 1, ..., m).
Szukany wielomian aproksymacyjny (16) ma więc postać
(20)
m
cj
j =0
sj
Q m ( x) = ∑
G j ( x) .
(21)
Dla układu m + 1 równoodległych punktów: x0 , x1 , ..., xn o stałej odległości h układ wielomianów
ortogonalnych (14) tworzą…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)