Analiza regresji - Współczynnik determinacji

Nasza ocena:

5
Pobrań: 28
Wyświetleń: 791
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Analiza regresji - Współczynnik determinacji - strona 1 Analiza regresji - Współczynnik determinacji - strona 2 Analiza regresji - Współczynnik determinacji - strona 3

Fragment notatki:

Wykład 6 .  Analiza regresji       Analityczne  wyrażenie  kształtowania  się  zmiennej  losowej  pod wpływem innej zmiennej losowej  Określenie 1 .  Przez funkcję regresji dwóch zmiennych rozumie się funkcję  opisującą  zmiany  w  wartościach  średnich  warunkowych  jednej  zmiennej  wywołane  zmianami  wartości  drugiej  zmiennej.     Można mówić o  funkcji  regresji  I rodzaju  oraz o   funkcji  regresji II rodzaju .  Funkcję regresji I rodzaju zmiennej   Y  względem zmiennej   X   wyraża się ogólnie w następujący sposób:    ( ) ( ) k i x X Y E X f i ..., , 2 , 1 , | = = = .      Dokładna  postać  tej  funkcji  nie  jest  znana.  Na  podstawie  badań  empirycznych  można  postawić  odpowiednie  hipotezy  w tym zakresie (hipotezy modelowe).  Określenie 2 .  Regresją  empiryczną  zmiennej   Y   względem  zmiennej   X   nazywa  się  zbiór  punktów  płaszczyzny   XY   o  współrzędnych  ( ) i i y x  , ,  i  = 1, 2, ...,  k .    Uwagi:  Wykres takiego  zbioru punktów tworzy tzw. empiryczną  linię regresji.  Zazwyczaj  dysponuje  się  danymi  indywidualnymi   o wartościach badanych zmiennych, tj.  xi  oraz  yi , dla  i  = 1,  2, …,  n . Wówczas tworzy się wykresy zbiorów punktów   o współrzędnych  ( ) i i y x  , .  Na przykład,        Rys. 1. Rozrzut punktów empirycznych wraz z dopasowanymi liniami regresji.    Wykres jest najprostszym sposobem, który można wykorzystać formułując  roboczą hipotezę na temat istniejącej zależności i jej postaci (np. liniowa).  Liniowa funkcja regresji wyraża się wzorem:    ( ) η α α η + + = + = X X f Y 1 0 ,    (1)  gdzie:  Y  – zmienna zależna (objaśniana)  X  – zmienna niezależna (objaśniająca)  η  – resztowa zmienna losowa o własnościach:  ( ) ( ) const D E = = = 2 2 0 η σ η η   Empiryczne odpowiedniki modelu (1) są następujące:    ( ) i i i i i u x a a u x f y + + = + = 1 0     (2)    albo    i i x a a y 1 0 ˆ + = ,            (2’)    gdzie:  1 0,  a a   są  ocenami  parametrów  1 0, α α ,  natomiast  i i i y y u ˆ − =  są to tzw. reszty modelu.  Określenie 3 .  Funkcje  wyrażone  wzorami  (2),  (2’)  przedstawiają  tzw.  funkcje II rodzaju.      Warunki nałożone na funkcje II rodzaju: 

(…)

… − yi ) 2
i= 1
n− 2
n

 i= 1
xi2
2
− n( x ) 

2) Ocenić stopień dopasowania modelu do danych
empirycznych
Miarami stosowanymi w tym wypadku są współczynnik
determinacji (R2) oraz współczynnik zbieżności (ϕ 2) [uwaga,
R2 + ϕ 2 = 1], tj.:
n
R2 =
( yi − y ) 2
∑ ˆ
i= 1
n
∑ ( yi − y ) 2
i= 1
n
ϕ
2
=
( yi − yi ) 2
ˆ

i= 1
n
∑ ( yi − y ) 2
i= 1
,
Interpretacja
Współczynnik determinacji informuje jaka…
… odrzucamy, a zatem nie jest prawdą,
że zmienna X nie wpływa na zmienną Y. Innymi słowy,
parametr regresji mierzący ten wpływ jest istotny
statystycznie.
Ad. (b)
Stawiamy hipotezy:
ˆ
H0 : Y = α 0 + α 1X
ˆ
H1 : Y ≠ α 0 + α 1 X
Stosujemy test serii
Jeżeli weryfikacji dokonujemy na podstawie danych
indywidualnych (a tak jest zazwyczaj), to postępujemy
następująco:
 yi
porządkujemy według niemalejących wartości xi
xi
x1
x2

xn
yi
y1
y2

yn
> yi , to przyjmujemy A
ˆ
jeżeli yi < yi , to przyjmujemy B
ˆ
jeżeli yi = yi , to pomijamy
ˆ
 jeżeli yi
yi
ˆ
y1
ˆ
y2
ˆ

yn
ˆ
ustalamy liczbę serii k oraz nA, nB, a także przyjmujemy
poziom istotności γ

Podejmujemy decyzję weryfikacyjną według następujących
zasad:
- jeżeli k > kγ ,n A ,nB , to nie ma podstaw do odrzuceni H0,
- jeżeli k ≤ kγ ,n A ,nB , to H0…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz