Współczynnik korelacji liniowej Pearsona - wykład

WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI LINIOWEJ PEARSONA WŁASNOŚCI
rxy=rxy rxy ∈
Wartość bezwzględna z rxy informuje o sile związku liniowego między cechą X,Y
korelacja niewyraźna rxy korelacja średnia rxy∈(0,3;0,5
korelacja wyraźna rxy0,5
Zależność korelacyjna przechodzi w zależność funkcyjną rxy=1
Brak związku korelacyjnego liniowego rxy=0
rxy≤eyx Miara krzywoliniowości
mxy=e2xy - r2xy myx=e2yx - r2yx m∈ - m ≤ 0,2 - zależność korelacyjna uznajemy za prostoliniową
m 0,2 - krzywoliniowość zależności jest stochastycznie istotna
WSPÓŁCZYNNIK KORELACJI RANG SPEARMANA
Zastosowanie:
do badania zależności cech jakościowych
do badania cech ilościowych dla małej próby
n1
di - różnica pomiędzy rangami odpowiadających sobie wartości cechy X i cechy Y
Własności:
rs∈
interpretacja - tak jak rxy FUNKCJA REGRESJI
Funkcja regresji I rodzaju y=f0(x)+ξ
f0 - funkcja regresji I rodzaju
ξ - składnik losowy EMPIRYCZNE LINIE REGRESJI
Empiryczne linia regresji zmiennej X względem zmiennej Y łamana o wierzchołkach Empiryczna linia regresji zmiennej Y względem zmiennej X łamana o wierzchołkach FUNKCJA REGRESJI II RODZAJU: y=f(x)+u
y=f(x) ; f(x) - funkcja regresji II rodzaju
u - składnik resztowy
Warunki dla funkcji regresji II rodzaju:
odchylenie wartości empirycznych (yi) od wartości teretycznych ( ) są losowe
suma kwadratów odchyleń wartości teretycznych od empirycznych jest najmniejsza
REGRESJA LINIOWA II RODZAJU
Założenie:
f jest funkcją liniową. Funkcja regresji zmiennej Y względem zmiennej X.
yi=a1xi +V0+Ui i=1,……K a0,a1 - parametry strukturalne
x(a0,a

(…)

… DOKŁADNOŚCI OSZACOWANEJ FUNKCJI REGRESJI II RZĘDU
Wariancja składnika resztowego
S2u= K - liczba szacowanych parametrów
Su - określają przeciętne odchylenia wartości empirycznych od wartości teoretycznych
Współczynnik zbieżności ϕ2 ϕ2= ϕ2∈<0,1>
Współczynnik determinacji R2 R2= R2∈<0,1>
- wartość teoretyczna
1=ϕ2+R2
Uwaga !
Dla liniowej funkcji regresji R2=r2yx
Interpretacje:
ϕ2 - jaka część zmienności zmiennej Y nie została wyjaśniona przez model
y=a1xi+a0 R2 - jaka część zmienności zmiennej Y została wyjaśniona przez model
y=a1x+a0 Funkcja regresji zmiennej X względem zmiennej Y
xj=b1yj+b0+zj j=1,……
b0, b1 - parametry strukturalne modelu
zj=xj- , =b1y1 - b0 Współczynnik zbieżności y2 , ϕ2∈<0,1>
Współczynnik determinacji R2xy
, R2∈<0,1>
Uwaga!
Dla liniowej funkcji regresji R2xy - r2xy Korelacja i regresja wielu zmiennych
(x1,x2,………,xi)→Y
korelacja wieloraka
(x2,x3,……xK)→Y Y=x1 R1,2,3……K=Rw
korelacja cząstkowa xi→xj rij.K,L……z
Oznaczenia:
Y=xi P=[rij] i=1,……K; j=1,……K
Rw∈<0,1>
Rw=0⇒brak korelacji
Rw=1⇒korelacja doskonała
R2w- współczynnik determinacji
REGRESJA WIELORAKA
Y=α0+α1x1+……αKxK+e (regresja I rodzaju)
Y=a0+a1x1+……aKxK+u (regresja II rodzaju)
X= a= a=(xTx)-1xTy
Macierz wariancji…
… i kowariancji estymatora B
S2(a)=S2u(xTx)-1 Estymator wariancji składnika losowego
S2u= Współczynnik zbieżności
ϕ2= R2w=1-ϕ2
Analiza dynamiki
Szereg dynamiczny
Yt=f(t,δ); yt=f(t,w,e)
{yt} yt∈R
Szereg dynamiczny
Szereg czasowy momentów
Szereg czasowy okresów
Miary dynamiki
Absolutne 1,2
przyrosty
Względne
1,2
Miary dynamiki
indeksy
Indywidualne 1,2
agregatowe
1-jednopodstawowe
2-łańcuchowe
…
…
Warunki dla funkcji regresji II rodzaju:
odchylenie wartości empirycznych (yi) od wartości teretycznych ( ) są losowe
suma kwadratów odchyleń wartości teretycznych od empirycznych jest najmniejsza
REGRESJA LINIOWA II RODZAJU
Założenie:
f jest funkcją liniową. Funkcja regresji zmiennej Y względem zmiennej X.
yi=a1xi +V0+Ui i=1,……K a0,a1 - parametry strukturalne
x(a0,ai)= a1=rxy a0= Błąd estymatora
MIARY…
… i kowariancji estymatora B
S2(a)=S2u(xTx)-1 Estymator wariancji składnika losowego
S2u= Współczynnik zbieżności
ϕ2= R2w=1-ϕ2
Analiza dynamiki
Szereg dynamiczny
Yt=f(t,δ); yt=f(t,w,e)
{yt} yt∈R
Szereg dynamiczny
Szereg czasowy momentów
Szereg czasowy okresów
Miary dynamiki
Absolutne 1,2
przyrosty
Względne
1,2
Miary dynamiki
indeksy
Indywidualne 1,2
agregatowe
1-jednopodstawowe
2-łańcuchowe
…
... zobacz całą notatkę