ANALIZA - ZESTAW nr 5 (WMS, rok 1, gr. 4, sem. letni) 1. Obliczyć pola obszarów ograniczonych podanymi krzywymi: a) √ x + √ y = 1, x = 0, y = 0; b) y = x 2, y = 1 2 x 2, y = 3x; c) y = x + sin x, y = x, x = 0, x = 2π; d) y 2 = −x, y = x − 6, y = −1, y = 4. 2. Znaleźć pola figur ograniczonych następującymi liniami zamkniętymi: a) y 2 = (1 − x2)3; b) y 2 = x2 − x4; c) (y − arcsin x) 2 = x − x2. 3. Obliczyć pole ewoluty elipsy danej parametrycznie: x = c2 a2 cos 3 t, y = c2 b2 sin 3 t, c 2 = a2 − b2. 4. Obliczyć pole figury danej parametrycznie: x = a cos t, y = a sin 2 t 2 + sin t , a 0. 5. Obliczyć pola następujących figur ograniczonych krzywymi zadanymi we współrzędnych biegunowych: a) r = a cos ϕ + b, (b ≤ a); b) r 2 = 2a2 cos ϕ; c) r = 1 ϕ , r = 1 sin ϕ ; d) r = 3 + cos 4ϕ, r = 2 − cos 4ϕ. 6. Obliczyć pole obszaru ograniczonego dwoma okręgami x 2 − 2 √ 3x + y 2 = 0, x 2 + y2 − 2y = 0. 7. Obliczyć długości podanych krzywych: a) y = ln ex + 1 ex − 1 , x ∈ [2, 3]; b) y = x5 10 + 1 6x3 , x ∈ [1, 2]; c) 24xy = y 4 + 48, y ∈ [2, 4]; d) y = 1 − ln cos x, x ∈ 0, π 4 . 8. Obliczyć długość następujących krzywych: a) x = 1 4 y 2 − 1 2 ln y, y ∈ [1, e]; b) x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), t ∈ [0, 2π]; c) r = aϕ, ϕ ∈ [0, 2π] (spirala Archimedesa). 9. Obliczyć obwód figury ograniczonej krzywymi: y 3 = x2, y = √ 2 − x2. 10. Obliczyć długość krzywej danej równaniem r = 4 sin 3 t 3 . 11. Obliczyć objętość brył powstałych z obrotu podanych figur T wokół wskazanych osi: a) T : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2x − x 2, Ox; b) T : 0 ≤ x ≤ √ 5, 0 ≤ y ≤ 2 √ x2 + 4 , Oy; c) T : 0 ≤ x ≤ π 4 , 0 ≤ y ≤ tan x, Ox; d) T : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x 3, Oy. 12. Obliczyć objetość bryły powstałej w wyniku obrotu dookoła osi Ox krzywej y = 4 √ 4 − x2. 13. Obliczyć objętość bryły powstałej przez obrót krzywej y = √ xe−x dookoła osi Ox dla x ≥ 0. 14. Obliczyć objętość bryły powstałej z obrotu cysoidy (2a − x)y2 = x2 dookoła osi Ox, gdzie x ∈ [0, b] oraz b
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)