Poruszono w tej notatce takie zagadanienia jak: prawa de Morgana, kres górny i kres dolny, wartość bezwzględna, indukcja zupełna, ciąg liczbowy, ciągi zbieżne, twierdzenie o trzech ciągach, zbieżność ciągów monotonicznych, funkcje elementarne, definicja Cauchego granicy funkcji w punkcie, nieciągłości funkcji w punkcie, twierdzenie Weierstrassa, pochodna funkcji w punkcie, własności algebraiczne pochodnych w punkcie, pochodna superpozycji, pochodna funkcji odwrotnej, warunek różniczkowalności, interpretacja pochodnej, różniczka, ekstrema, twierdzenie Fermata, twierdzenia o wartości średniej, asymptoty, twierdzenie Langrange'a, funkcje wypukłe i wklęsłe, funkcja pierwotna, całka oznaczona Riemanna, twierdzenie Riemanna, górna granica całkowania, Newton-Liebnetz, całkowanie przez części, wartość średnia całek, długość łuku krzywej, pole i objętość bryły obrotowej, zbieżność całki niewłaściwej, szereg, warunek konieczny zbieżności szeregu, kryterium Cauchego, kryterium Leibniza,
Pytanie 1
Prawa de Morgana dla zmiennych
Zaprzeczenie implikacji
Prawo kontr pozycji
Pytanie 2
Prawa de Morgana dla Kwantyfikatorów
Prawa przestawiania kwantyfikatorów
Pytanie 3
Działania na zbiorach
Niech Możemy zdefiniować następujące działania na zbiorach
Suma zbiorów A i B
Iloczyn (część wspólna) zbiorów A i B
Różnica zbiorów A i B
Dopełnienie zbioru A do X
Jeśli dane są zbiory nie puste A i B to można utworzyć zbiór, który oznaczamy złożony ze wszystkich par uporządkowanych , gdzie i . Zbiór ten nazywamy iloczynem (produktem) kartezjańskim zbiorów A i B.
Pytanie 4
Definicja kresu dolnego i górnego, twierdzenie o istnieniu kresów:
1) Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z góry gdy istnieje liczba (zwana ograniczeniem górnym zbioru A) taka, że: Kresem górnym zbioru A nazywamy najmniejsze z ograniczeń górnych zbioru A. Oznaczamy kres górny przez symbol supA (supremum A)
2) Mówimy, że zbiór A jest ograniczony z dołu gdy istnieje liczba (zwana ograniczeniem dolnym zbioru A) taka, że: Kresem dolnym zbioru A nazywamy największe z ograniczeń dolnych zbioru A i oznaczamy infA (infinium A)
Twierdzenie o istnieniu kresów: 1) Każdy zbiór niepusty ograniczony z góry posiada dokładnie jeden kres górny
2) Każdy zbiór niepusty ograniczony z dołu posiada dokładnie jeden kres dolny
Pytanie 5
Wartość bezwzględna i jej własności:
Dla definiujemy jej wartość bezwzględną wzorem:
Własności: Pytanie 6
Definicja funkcji, iniekcja, suriekcja, bijekcja, funkcja odwrotna, superpozycja funkcji:
Niech , . Zbiór nazywamy funkcją, gdy dla każdego istnieje dokładnie jeden element taki, że W skrócie: Piszemy oraz zamiast piszemy y = f(x)
Niech . Mówimy, że:
a) f jest iniekcją (albo inaczej funkcją różnowartościową), gdy
(Uwaga: korzystając z prawa kontrapozycji, można powyższy warunek zapisać w postaci
b) f jest suriekcją (albo inaczej funkcją „na”), gdy f(x) = y
c) f jest bijekcją, gdy jest jednocześnie iniekcją i suriekcją.
Pytanie 7
Zasada indukcji zupełnej:
Niech będzie funkcją zdaniową, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych N. Jeśli:
1) zachodzi
2) dla każdej liczby naturalnej u zachodzi wynikanie to zachodzi dla każdej liczby naturalnej u.
(…)
… ( ) nazywamy kres sup i oznaczamy przez lub lim Pytanie 14
Funkcje elementarne i ich rodzaje:
Podstawowymi funkcjami elementarnymi są: wielomiany, funkcje wymierne, funkcje potęgowe, funkcje wykładnicze, funkcje logarytmiczne, funkcje trygonometryczne oraz funkcje cyklometryczne (odwrotne do trygonometrycznych).
Funkcja elementarna powstaje przez zastosowanie skończoną ilość razy podstawowych funkcji…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)