Analiza matematyczna - całki potrójne

Nasza ocena:

3
Pobrań: 21
Wyświetleń: 1029
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Analiza matematyczna - całki potrójne - strona 1 Analiza matematyczna - całki potrójne - strona 2 Analiza matematyczna - całki potrójne - strona 3

Fragment notatki:


6. CAŁKI POTRÓJNE 6.1 CAŁKI POTRÓJNE PO PROSTOPADŁOŚCIANIE Oznaczenia w definicji całki po prostopadłościanie: P = {( x , y , z ): a  x  b , c  y  d , p  z  q } - prostopadłościan w przestrzeni;
P = { P 1 , P 2 , ..., P n } - podział prostopadłościanu P na prostopadłościany P k , 1  k  n , przy czym prostopadłościany podziału całkowicie wypełniają prostopadłościan P i mają parami rozłączne wnętrza;
 x k ,  y k ,  z k - wymiary prostopadłościanu P k , 1  k  n ;
- długość przekątnej prostopadłościanu P k , 1  k  n ;
δ(P) = max{ d k : 1  k  n } - średnica podziału P;
, gdzie , 1  k  n - zbiór punktów pośrednich podziału P.
Rys 6.6.1 Podział P prostopadłościanu P = [ a , b ]  [ c , d ]  [ p , q ]
Def. 6.1.1 (całka potrójna po prostopadłościanie)
Niech funkcja f będzie ograniczona na prostopadłościanie P . Całkę podwójną z funkcji f po prostopadłościanie P definiujemy wzorem:
,
o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje oraz nie zależy od sposobów podziału P prostopadłościanu P , ani od sposobów wyboru punktów pośrednich . Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna na prostopadłościanie P .
Uwaga . Całkę potrójną z funkcji f po prostopadłościanie P oznaczamy też symbolem .
Fakt 6.1.2 (o całkowaniu funkcji ciągłej) Funkcja ciągła na prostopadłościanie jest na nim całkowalna.
Tw. 6.1.3 (o liniowości całki) Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na prostopadłościanie P oraz c  R , to:
a) funkcja f + g jest całkowalna na prostopadłościanie P oraz
;
b) funkcja cf jest całkowalna na prostopadłościanie P oraz
.
Tw. 6.1.4 (o addytywności względem obszaru całkowania) Jeżeli funkcja f jest całkowalna na prostopadłościanie P , to dla dowolnego podziału prostopadłościanu P na dwa prostopadłościany P 1 , P 2 o rozłącznych wnętrzach, funkcja f jest całkowalna P 1 i P 2 na oraz .
Tw. 6.1.5 (o zamianie całki potrójnej na całkę iterowaną) Jeżeli funkcja f jest ciągła na prostopadłościanie P = {( x , y , z ): a  x  b , c  y  d , p  z  q }, to
.
Uwaga . Powyższe twierdzenie będzie prawdziwe także wtedy, gdy po prawej stronie równości napiszemy dowolną inną całkę iterowaną (jest sześć rodzajów całek iterowanych). Całkę iterowaną


(…)

… w punkcie przez obszar V  R3 o gęstości objętościowej masy γ wyraża się wzorem:
,
gdzie , a G oznacza stałą grawitacji.
7. Natężenie pola elektrycznego indukowane w punkcie przez ładunek elektryczny rozłożony z gęstością objętościową ładunku γ na obszarze V  R3, wyraża się wzorem:
,
gdzie , a 0 oznacza przenikalność elektryczną próżni.
8. Energia potencjalna względem płaszczyzny xOy obszaru V  R3…
…), gdzie:
 - oznacza miarę kąta między rzutem promienia wodzącego punktu P na płaszczyznę xOy, a dodatnią częścią osi Ox, albo ;
ρ - oznacza odległość punktu P od początku układu współrzędnych, ,
h - oznacza odległość (dodatnią lub ujemną) punktu P od płaszczyzny xOy, .
Rys 6.3.1 Współrzędne walcowe punktu w przestrzeni
Fakt 6.3.2 (zamiana współrzędnych walcowych na kartezjańskie)
Współrzędne kartezjańskie (x,y…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz