1. DWUKROTNE CAŁKI ITEROWANE
Przykład
Obliczmy całkę iterowaną Najpierw obliczamy całkę wewnętrzną całkując względem y i traktując zmienną x jako stałą :
Następnie obliczamy całkę zewnętrzną (z otrzymanej w wyniku pierwszego całkowania funkcji zmiennej x):
otrzymując ostatecznie:
Przykład
Obliczmy całkę iterowaną Najpierw obliczamy całkę wewnętrzną całkując względem x i traktując y jako stałą: Następnie obliczamy całkę zewnętrzną (z otrzymanej w wyniku pierwszego całkowania funkcji zmiennej y):
otrzymując ostatecznie:
2. CAŁKA PODWÓJNA
Twierdzenie (własności całki podwójnej)
Niech D R2 będzie obszarem domkniętym i ograniczonym oraz niech f i g będą funkcjami rzeczywistymi określonymi na D i całkowalnymi na tym obszarze. Wtedy
funkcje f+g, f-g są całkowalne na obszarze D oraz
funkcja f jest całkowalna w obszarze D oraz jeżeli f(x,y) g(x,y) (x,y) D, to również Przykład
Obliczmy całkę gdzie jest prostokątem o bokach równoległych do osi układu współrzędnych (por. Rys. 15.5).
Rys. 15.5
Obszar D jest normalny względem obu osi. Traktując D jako obszar normalny względem osi Ox otrzymujemy zamianę całki podwójnej na całkę iterowaną:
Najpierw obliczmy całkę nieoznaczoną Traktując x jako stałą otrzymujemy Traktując D jako obszar normalny względem osi Oy otrzymujemy następującą zamianę całki podwójnej na całkę iterowaną: Czytelnik zechce sprawdzić, że po obliczeniu tej całki iterowanej ponownie otrzymujemy liczbę 7/60.
Przykład
Obliczmy całkę gdzie D jest obszarem ograniczonym łukami krzywych (por. Rys. 15.6)
Rys. 15.6
Obszar D jest normalny zarówno względem osi Ox , jak i osi Oy .
Najpierw obliczmy całkę traktując D jako obszar normalny względem osi Ox .
Rzutem zbioru D na oś Ox jest odcinek [0,2]. Górny brzeg zbioru D ma równanie , a dolny brzeg ma równanie Zatem Stąd otrzymujemy zamianę całki podwójnej na całkę iterowaną:
Obliczmy teraz całkę traktując D jako obszar normalny względem osi Oy .
Rzutem zbioru D na oś Oy jest odcinek [0,4]. Lewy brzeg zbioru D ma równanie , a prawy - równanie Zatem Stąd otrzymujemy zamianę całki podwójnej na całkę iterowaną:
Uwaga
Oczywiście, gdy obszar jest normalny względem obu osi, to wystarczy zamienić całkę podwójną w jeden sposób na całkę iterowaną i obliczyć ją. Wynika to z tego, że całkując w odwrotnej kolejności otrzymamy ten sam wynik po innych rachunkach. Czasem zdarza się, że stosując jeden z tych sposobów otrzymujemy dużo trudniejsze całki nieoznaczone (np. całki nie wyrażające się przez funkcje elementarne) niż stosując drugi z tych sposobów.
(…)
… obszarze zawierającym obszar Ω, oraz
którego jakobian jest różny od zera wewnątrz Ω,
zaś f jest dowolną funkcją ciągłą w D. Wtedy
Uwaga. |J| oznacza wartość bezwzgledną jakobianu, zaś oznaczają pochodne cząstkowe.
Całka wielokrotna
Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, szukaj Całka wielokrotna stopnia n, to całka po n zmiennych z funkcji n zmiennych:
Szczególne przypadki całki wielokrotnej…
… oznacza pochodną cząstkową i analogiczne znaczenia mają wszystkie inne litery ze wskaźnikami dolnymi.
Eksteremum funkcji wielu zmiennych
Znajdź ekstrema podanych funkcji :
a) obliczmy teraz pochodne cząstkowe I rzędu :
obliczmy teraz pochodne cząstkowe II rzędu oraz pochodne mieszane :
funkcja posiada min. lokalne właściwe ponieważ b) obliczmy teraz pochodne…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)