To tylko jedna z 7 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
5. CAŁKI PODWÓJNE 5.1 CAŁKI PODWÓJNE PO PROSTOKCIE Oznaczenia w definicji całki po prostokącie: P = {( x , y ): a x b , c y d } - prostokąt na płaszczyźnie;
P = { P 1 , P 2 , ..., P n } - podział prostokąt P na prostokąty P k , 1 k n , przy czym prostokąty podziału całkowicie wypełniają ten prostokąt i mają parami rozłączne wnętrza;
x k , y k - wymiary prostokąta P k , 1 k n ;
- długość przekątnej prostokąta P k , 1 k n ;
δ(P) = max{ d k : 1 k n } - średnica podziału P;
, gdzie , 1 k n - zbiór punktów pośrednich podziału P.
Rys 5.5.1 Podział P prostokąta P = [ a , b ] [ c , d ]
Def. 5.1.1 (całka podwójna po prostokącie) Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie P . Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie P definiujemy wzorem:
,
o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje oraz nie zależy od sposobów podziału P prostokąta P , ani od sposobów wyboru punktów pośrednich . Mówimy wtedy, że funkcja f jest całkowalna na prostokącie P . Uwaga . Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie P oznaczamy też symbolem . Całka podwójna po prostokącie jest naturalnym uogólnieniem całki z funkcji jednej zmiennej po przedziale.
Fakt 5.1.2 (o całkowalności funkcji ciągłych) Funkcja ciągła na prostokącie jest na nim całkowalna.
Tw. 5.1.3 (o liniowości całki) Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na prostokącie P oraz c R , to:
a) funkcja f + g jest całkowalna na prostokącie P oraz
;
b) funkcja cf jest całkowalna na prostokącie P oraz
.
Tw. 5.1.4 (o addytywności całki względem obszaru całkowania) Niech funkcja f będzie całkowalna na prostokącie P . Wtedy dla dowolnego podziału prostokąta P na prostokąty P 1 , P 2 o rozłącznych wnętrzach funkcja f jest całkowalna na tych prostokątach oraz .
Tw. 5.1.5 (o zamianie całki podwójnej na całki iterowane) Niech funkcja f będzie ciągła na prostokącie P = {( x , y ): a x b , c y d }. Wtedy
.
Uwaga . Całki występujące w tezie powyższego twierdzenia nazywamy krótko całkami iterowanymi funkcji f po prostokącie P . Będziemy pisali umownie
i ,
zamiast odpowiednio
i .
Fakt 5.1.6 (całka z funkcji o rozdzielonych zmiennych) Jeżeli
funkcja
(…)
… jest analogiczny do wzoru na natężenie pola elektrycznego. Wzór na siłę przyciągania pochodzącą od ładunków elektrycznych jest analogiczny do wzoru na siłę przyciągania grawitacyjnego. Wzory te są prawdziwe także dla obszarów płaskich położonych w przestrzeni. Wtedy przyjmujemy oraz .
Fakt 5.4.3 (środki masy obszarów symetrycznych)
Gdy obszar na płaszczyźnie ma środek symetrii i gęstość powierzchniowa…
… bezwładności względem osi Ox, Oy oraz punktu O obszaru D o gęstości powierzchniowej masy σ wyrażają się wzorami:
, .
5. Parcie P na jedną stronę płaskiej płytki D zanurzonej pionowo w cieczy o ciężarze właściwym γ wyraża się wzorem:
.
6. Natężenie pola elektrycznego indukowane w punkcie przez ładunek elektryczny o gęstości powierzchniowej ładunku σ, rozłożony w sposób ciągły na obszarze D, wyraża się wzorem…
…
i .
Fakt 5.1.6 (całka z funkcji o rozdzielonych zmiennych)
Jeżeli
funkcja g jest ciągła na przedziale [a,b],
funkcja f jest ciągła na przedziale [c,d],
to
,
gdzie P = [a,b] [c,d].
5.2 CAŁKI PODWÓJNE PO OBSZARACH NORMALNYCH
Def. 5.2.1 (całka podwójna po obszarze)
Niech funkcja f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym D R2 oraz niech P będzie dowolnym prostokątem zawierającym obszar D…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)