To tylko jedna z 3 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
ANALIZA MATEMATYCZNA 2
WEMiF, II kolokwium, 10 czerwca 2011 r.
Zestaw
B
1. Znale´ ´ wszystkie ekstrema funkcji
zc
f (x; y) = 5
x
+1
y
2
(y
4)
2
Rozwiazanie. Oczywi´
¾
scie y 6= 0: Z warunku koniecznego istnienia ekstremum mamy
8
@f
2
= y x + 1 = 0;
@x
y
:
@f
@y
=
2 (y
x
y
4) + 2
+1
x
y2
= 0:
sci
Z pierwszego równania wynika, ze x + 1 = 0: Po wstawieniu tej równo´ do drugiego równania,
· y
otrzymamy y = 4 i stad x =
¾
4: Rozwiazaniem uk÷ równa´ jest zatem para:
¾
adu
n
x1 = 4;
y1 = 4:
Przechodzimy do warunku wystarczajacego istnienia ekstremów. Mamy
¾
8
@2f
= y22 ;
@x2
2
@f
2(3x2 +2xy+y 4 )
:
=
:
@y 2
y4
Badamy znak hessjanu w punkcie „
podejrzanym o ekstremum” Mamy
.
2 2
3
2 1
@ f
@2f
( 4; 4)
( 4; 4)
@x2
@x@y
8
6
7
H ( 4; 4) = det 4
5 = det 4
1
@2f
@2f
( 4; 4)
( 4; 4)
8
@x@y
@y 2
Zatem jest to maksimum lokalne w÷sciwe.
a´
1
8
17
8
3
5 0:
2. Narysowa´ obszar ca÷
c
kowania i nastepnie zmieni´ kolejno´´ ca÷
¾
c
sc
kowania w ca÷ iterowanej
ce
Z2
dx
0
2
Zx
f (x; y) dy:
x2
Rozwiazanie. Obszar ca÷
¾
kowania przedstawiamy na rysunku ponizej:
·
y
4
2
0
1
-2
-4
1
2
x
Obszar ca÷
kowania dzielimy na trzy obszary normalne wzgledem osi Oy: Mamy zatem
¾
Z0
4
dy
Z2
p
f (x; y) dx +
y
3. Zbada´ zbiezno´´ szeregu
c
· sc
Z1
0
dy
Z2
f (x; y) dx +
0
1
X
n=1
Z4
dy
2
Z2
f (x; y) dx:
log2 y
n5
:
2n + 3n
p
Rozwiazanie. Skorzystamy z kryterium Cauchy’
¾
ego. Granice limn!1 n jan j wyznaczymy
¾
p
stosujac twierdzenie o trzech ciagach. Beda mam potrzebne takze równo´
¾
¾
¾ ¾
sci limn!1 n a = 1
·
p
¾
sci:
dla a 0 oraz limn!1 n n = 1: Dla liczb naturalnych n 2 zachodza nierówno´
r
r
p 5
p 5
1
1
n5
( n n)
( n n)
n
n
p =
=
:
6
6 p
n
3n + 3n
2n + 3n
3
3n2
3n
Ciagi ograniczajace z prawej i lewej strony maja te same granice:
¾
¾
¾
p 5
1
( n n)
1
1
lim p = ; lim
= ;
n
n!1 3 2
3 n!1 3
3
wiec limn!1
¾
q
n
n5
2n +3n
= 1:
3
Poniewaz 1
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)